南京航空航天大学《高等工程应用数学》.docx

例 1丄臥一 =|~0,2-丄],血=|~0,1+丄](1,2,?..)，易得lim4=[0,2)，购 =[0,1]。因为如人=[0,1] H = [0,2), {為}心不收敛。 k ) k 心°° 71T8 刃 r 定理 121 设映射 /J:XtF, ￡:YtZ, ￡:ZtW,则有(1)広?(￡?￡) = (/；? =/i =/i° 证明显然，人?(厶?/】)与(人?久)J都是X到W的映射。对任意xeX,有LAG)]*)#[(/；?/?]=/；⑺。(小 口也)』]匕)=4也皿⑴匸歩忆以兀))〕因此，厶? d)=(厶?m 定理122设映射f:X^Y是可逆的，则/的逆映射是唯一的。证明设映射g：Y^X和/z:YtX均为/的逆映 射，则f?g = b，hf = Ix。于是由定理1.2.1,有h = h?lY=h?(f?g) = (h?f)?g = Ix?g = g 定理123映射f:X^Y是可逆映射的充分必要条件为/是X到Y的双映射。证明1、必要性.设f：X^Y是可逆映射， 则存在映射/:YtX。对任意再，七wX,如果/(^) = /(^2),则有(/_1 ?/)(%!)= (/_，-/)(x2)从而再=兀2 。因此/ 是X到丫的单映射。对任意ywY,若f~\y) = xe X ,则/⑴=/(广丫刃)=(/?/为(刃=八 因此/是X却丫的满映 射。于是，/是X到r的双映射。2、充分性.设/是X到Y的双映射，则对任意yeY f存在惟一的xg X使得/(x) = y 0 定义映射 g 为g :YTX, g(y) = Xf 则(/.g)(〉，)= /(g(y)) = /(x) = y,即 口 = 1丫,并且对任意炸X , (g?/)(x) = g(/(x)) = g(y)“，即g?f = Ix。由定义1.2. 4知，g =厂 为/的逆映射。 例1.3.2设/T表示实数域上所有mxn矩阵的集合，对于A, Bw R呦,如果存在可逆矩阵Pe Rmx,\ Qe Rnxn,使得 B = PAQ ,则称矩阵A与B相抵。B = PAP,相似。B = P「AP,则称矩阵A与3相合。 定理1?3?1设/?是集合A内的一个等价关系，a,be A,则[a] = [b]当且仅当aRb °证明 设aRb。任取ce[a]t则c/S。 由传递性得从而cg [b].因此，[a]匸[切。由对称性得勿S,于是由刚才证得的结论有[b] c [a] o所以[tz] = [b] o 反之，设[a] = [b] o 因为ae[a] = [b]f 所以 aRb。 定理1.3.2集合A上的每个等价关系R都决定A的一个分类。反之，集合A的每个分类都决定A上的一个等价关系。证明如 果/?是A上的等价关系，则A//?给岀了 A的一个分类。反过來如果{BJ是A的一个分类，令/? = {(兀,刃|存在Bjgl), 使得w B,}则/?是A上的一个等价关系。 定理1.4.1 (Zorn引理)设A是非空的偏序集，如果A的每个子序集都在A中有上界，则A必有极大元。证明1、由Zorn公 理知A有最大子序集3。由定理条件知B有上界beA. 2、下面证明b就是A的极大元。事实上，假设b不是A的极大元, 则存在ae A使bW仏bHo,从而{a}\jB也是A的子序集。显然B,即〃是{d}UB的真子集，这与〃是A的最大子序集 矛盾。 定理1.5.2设A是一个非空集合，则|A||2A|o证明1、先证|A||2A|,只需构造4t2的一个单映射几 Vxg A,令 f(x) = {x}e2\ {兀}为单点集合，则/为AT2的一个单映射，因此|A||24|o 2、再证制伞[,即不存在的 双映射。反证法。若存在双映射g:A^2\注意Vxg A, 即g(x)为A的一个子集，构造A的子集 〃 = A,且XW g(x)}w 2八由于 g 是双映射，所以 Bye A,使 g(y) = B 0 不论 ywB(=g(y))还是 ye B(=g(y)), 都与B的定义矛盾。因此不存在A^2a的双映射。得证。 第二章代数结构与线性空间 定理2?1?2设4,3是两个非空集合，。和分别是A和B上的代数运算。如果A与3同态，则(1)若。适合结合律，贝M也 适合结合律；(2)若。适合交换律，则6也适合交换律。 定理2.2.2设G是一个群，则对任意a,b,cw G ,如果ab = ac或ba = ca ,则b = c ； (2)对任意a,be G ,方程ax-b与 ya = b在G中都有唯一解。证明(1)以a/? = ac为例，由群G的定义，对任意aw G ,存在w G。用a~x左乘肋=ac 两边得a~\cib) - a~\ac)则(。一0)/? = (a一力比即= 其中w为G的单位元，所以b = c ° (2)对ci e G ,有a~l e