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第二节 偏 导 数 一、偏导数的定义及其计算法 由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法. 例如求 时, 视 y 为常数, 故若令 这仍然是一元函数求导问题. 则 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 例1. 求 解1 解2 证 解 例4. 已知理想气体的状态方程 (R 为常数) , 求证: 证: 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 例6 解 按定义可知： ３、偏导数存在与函数连续的关系 但由上节例6知函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数, 从以上两例可看出函数连续与偏导数存在没有 必然的联系. 又例如, 4、偏导数的几何意义 如图 是曲线 在点 M0 处的 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 切线 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 二、高阶偏导数 解 解 注意:两例 但这一结论并不总成立. 例9 解 按定义可知： 问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 解 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 证毕． 例11. 证明函数 满足拉普拉斯 证： 利用对称性 , 有 方程 内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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