第5章 连续系统的复频域分析.ppt

所以,系统函数H(s)为 5.5 连续时间系统函数与系统特性 5.5.1 系统函数的零点、极点及系统的固有频率 线性系统的系统函数,是以多项式之比的形式出现的,即 (5―77) 系统函数分母多项式D(s)=0的根称为系统函数的极点,而系统函数分子多项式N(s)=0的根称为系统函数的零点,极点使系统函数取值为无穷大,而零点使系统函数取值为零。 N(s)和D(s)都可以分解成线性因子的乘积,即 (5―78) 把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形,叫做系统函数的零、极点图。其中零点用“”表示。极点用“×”表示。若为n重极点或零点,则注以（n）。 例如某系统的系统函数为 它表明系统在原点处有二重零点,在s=-3处有一个零点;而在s=-1,s=-2-j1处各有一个极点,该系统函数的零、极点图如图5.18所示。 图5.18 系统函数的零点、极点图 研究系统函数的零、极点有下列几个方面的意义: （1）从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率,进而了解系统冲激响应的模式,也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组合,从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定。 （2）从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性,从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。系统的时域、频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表现出来。我们先来讨论系统的固有频率与极点的关系。 从第二章连续系统的时域分析可知,求解系统的零输入响应yx(t),首先应将n阶系统方程式写成齐次常微分方程 其特征方程式为 若上式具有n个不等的单实根λ1,λ2,…，λn,则系统的零输入响应为 (5―79) (5―80) (5―81) 对方程式（5―79）取拉普拉斯变换,并假设所有初始条件y(p)(0-)=0,p=0,1,2,…,(n-1),则可得到 (sn+a n-1 s n-1+…+a1s+a0)Y(s)=0 (5―82) 而系统函数H（s）的极点正好是式（5―82）中多项式等于零的根,即 sn+a n-1 s n-1+…+a1s+a0=0 (5―83) 例5―34已知系统的数学模型为 y″(t)+5y′(t)+4y(t)=f′(t)+f(t) ? 激励f(t)=e-2t u(t),初始状态y(0-)=1,y′(0-)=1。试求yf(t),yx(t),y固(t),y强(t)及y(t)。 解 系统的特征方程为 p2+5p+4=0 特征根即系统的固有频率为p1=1,p2=-4。 于是设 解得 在零状态下对系统方程取拉氏变换,可以求出H（s） 于是 所以 可以得到 其中,固有响应 强制响应为 5.5.2 系统函数的极点分布与冲激响应 H（s）的一阶极点与其所对应的冲激响应函数波形,如图5.19所示。由以上讨论可得如下结论: LTI连续系统的冲激响应的函数形式由H（s）的极点确定。 (1) 若H（s）的极点位于s左半平面,则冲激响应的模式为衰减指数或衰减振荡,当t→∞时,它们趋于零,系统属于稳定系统。 (2) 若H（s）的极点位于s右半平面,则冲激响应的模式为增长指数或增长振荡,当t→∞时,它们趋于无限大,系统属于不稳定系统。 图5.19 H(s)的极点与所对应的响应函数 (3) 若H（s）的单极点位于虚轴（包括原点）,则冲激响应的模式为等幅振荡或阶跃函数,系统属于临界稳定系统。 (4)若位于虚轴（包括原点）的极点为n重极点(n≥2),则冲激响应的模式呈增长形式,系统也属于不稳定系统。 5.5.3 系统函数的零极点分布与系统频响特性 系统的频率特性H（jω）,其模|H(jω)|是随ω变化的函数称为系统的幅频特性,相角φ（ω）称为系统的相频特性。如前所述,系统在频率为ω0的正弦信号激励下的稳态响应仍为同频率