矩阵的奇异值分解在数字图像处理的应用.docx

基于奇异值分解的图像压缩 学 院 名 称 专业班级 学生姓名 学 号 1引言 随着多媒体技术和通讯技术的不断发展，多媒体娱乐、信息高速公路等不断对信息数据的存储和传输提出了更高的要求, 也给现有的有限带宽以严峻的考验, 特别是具有庞大数据量的数字图像通信, 更难以传输和存储, 极大地制约了图像通信的发展, 因此图像压缩技术受到了越来越多的关注。 图像压缩的目的就是把原来较大的图像用尽量少的字节表示和传输, 并且要求复原图像有较好的质量。利用图像压缩, 可以减轻图像存储和传输的负担, 使图像在网络上实现快速传输和实时处理。在数据传输的过程中采用高效的图像压缩技术，能起到节省传输资源、降低传输时间、提高传输效率等作用。数字图像以数据矩阵的形式存储，而矩阵的奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，目前它在信号处理、模式分析等领域得到了较为广泛的应用。由于图像具有矩阵结构，有文献提出将奇异值分解应用于图像压缩，并取得了成功，被视为一种有效的图像压缩方法。本文在奇异值分解的基础上进行图像压缩。 2数字图像处理基础简介 一幅图像可定义为一个二维函数f(x, y)，其中x和y是空间（平面）坐标，而在任何一对空间坐标（x，y）处的幅值f称为图像在该点处的灰度。当x，y和灰度值f是有限的离散数值时，我们称该图像是数字图像。数字图像处理是指借助于数字计算机来处理数字图像。数字图像是由有限数量的元素组成的，每个元素都有一个特定的位置和幅值，这些元素被称为像素。 图像获取是图像处理的第一步。图像获取有很多方法，最常用的方法就是用传感器如数字摄像机、扫描仪等设备得到。为了产生一幅数字图像，我们需要把连续的感知数据转换为数字形式。这种转换包括两种处理：取样和量化。经过取样和量化，就可以把一幅图像表示为一个如下的矩阵： 更一般的矩阵表达方式为： 所以，对图像的处理就是对矩阵的处理。图像处理的内容十分广泛，具体而言，可以分为：图像获取、图像增强、图像复原、图像压缩、图像分割等。这些内容都是基于矩阵的处理得到的。在这里我们只讨论基于矩阵奇异值分解的图像压缩。 图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空间冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗余；不同彩色平面或频谱带的相关性引起的频谱冗余。可利用一些编码的方法删去它们，从而达到减少冗余压缩数据的目的。 图像压缩可以是有损数据压缩也可以是无损数据压缩。无损图像压缩方法主要有行程长度编码、熵编码法如LZW；有损压缩方法主要有变换编码，如离散余弦变换（DCT）或者小波变换这样的傅立叶相关变换，然后进行量化和用熵编码法压缩和分形压缩（fractal compression）。 3矩阵的奇异值分解 3.1 矩阵的奇异值 对于任何一个矩阵A，都有rank()=rank()=rank(A)。 设，，是的特征值，是的特征值，它们都是实数。且设 则特征值与之间的关系为：，。 设， 的正特征值，的正特征值，称，是的正奇异值，简称奇异值。若是正规矩阵，则的奇异值是的非零特征向量的模长。 3.2矩阵的奇异值分解 若，是的个正奇异值，则存在阶酉矩阵和阶酉矩阵，满足： 其中，，为奇异对角阵。满足是对角阵，满足是对角阵。的第列为的对应于奇异值对应的左奇异向量，的第列为的对应于奇异值对应的右奇异向量。它们的每一列均为单位向量，且各列之间相互正交。 若，是的个正奇异值，则总有次酉矩阵，满足：，其中。 3.3 奇异值分解的图像性质 任意一个矩阵的奇异值是唯一的，它刻画了矩阵数据的分布特征。直观上，可以这样理解矩阵的奇异值分解：将矩阵看成是一个线性变换，它将维空间的点映射到维空间。经过奇异值分解后，这种变换被分割成3个部分，分别为、和，其中和都是标准正交矩阵，它们对应的线性变换就相当于对维和维坐标系中坐标轴的旋转变换。 若为数字图像，则可视为二维时频信息，可将的奇异值分解公式写为： 其中，和分别是和的列矢量，是的非零奇异值。故上式表示的数字图像可以看成是个秩为1的子图叠加的结果，而奇异值为权系数。 图像按奇异值分解后，有如下性质： （1）矩阵的奇异值代表图像的能量信息，因而具有稳定性。 设，，是矩阵的一个扰动矩阵。和的非零奇异值分别记为：和。且，是的最大奇异值。则有：。 由此可知，当图像被施加小的扰动时，图像矩阵的奇异值变化不会超过扰动矩阵的最大奇异值，所以图像奇异值的稳定性很好。 （2）矩阵的奇异值具有比例不变性。 设，矩阵的奇异值为，，矩阵()的奇异值为。则有：。 （3）矩阵的奇异值具有旋转不变性。