第4章　图像变换-2.ppt

小波 小波变换及其应用 傅立叶变换、短时傅立叶变换 局限性 小波变换 多分辨分析 在图像处理中的应用 傅立叶变换(Fourier,1809) 定义: 　　对　　　　　　，其Fourier变换为 　　 其逆变换为 　　 局限性 频谱的任一频点值是由函数在整个定义域的贡献决定的；反之，函数在某位置点的值也是由频谱在整个频域上的贡献决定；因而不能反映其局部特征。 函数或频谱的任一局部改变，都会引起整个的改变。 例子 fs=100; t=[0:100]/fs; s1=sin(10*pi*t)+sin(20*pi*t); t1=[0:49]/fs; t2=[50:100]/fs; s2=sin(10*pi*t1); s3=sin(20*pi*t2); s=[s2,s3]; figure(1); subplot(2,2,1),plot(t,s1); subplot(2,2,2),plot(t,s); sf1=fft(s1,512); sf=fft(s,512); w=[0:255]/256*(fs/2); subplot(2,2,3), plot(w,abs([sf1(1:256)sf(1:256)])); figure(3); subplot(2,2,1); coef=cwt(s1,1:64,sym2,plot); colormap(pink(64)); subplot(2,2,2); coef=cwt(s,1:64,sym2,plot); colormap(pink(64)); 短时傅立叶变换 (Gabor,1942) 定义　 　　 其中　　　　　　且　　　　 ，是一个窗函数 有性质： 局限性 定义窗函数的半径为 ： 取窗函数： 则有： 满足： 优点与局限性 有一定的局部分析能力。 短时傅立叶变换在窗函数固定下来以后，它的频率窗和时间窗的大小和形状都固定了。 无论高频、低频处都用同一宽窗。 没有自适应性。 相空间图 时域窗和频域窗 t w 短时傅立叶变换时间——频率窗 b w 小波变换 历史： 20世纪80年代中期，Morlet:法国石油勘探工程师, 引入Wavelet； Meyer:法国著名数学家构造了第一个具有光滑、快速衰减的小波；Mallat:数字信号处理博士,建立了小波多分辨分析理论；Daubechies:Bell实验室数学家，提出了正交小波基的构造方法； 至90年代初，小波分析理论初步形成。 定义1 称满足“容许性”条件的函数 ： 　 为基本小波。称： 为小波函数。 定义2 函数 的小波变换为： s1 s 例子 优点 小波变换在相空间时间－频率窗 　　具有自适应性 具有较强的局部分析能力 t w 离散小波变换 二进离散小波变换 　　取 十分广泛，它包括： 数学领域的许多学科：数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解等 ； 信号分析、图像处理：滤波、去噪声、压缩 、分类、识别与诊断 ； 量子力学、理论物理； 军事电子对抗与武器的智能化； 音乐与语言的人工合成； 医学成像与诊断：B超、CT、核磁共振成像 ； 地震勘探数据处理； 大型机械的故障诊断等方面； 小波分析的应用领域 多分辨分析与Mallat算法 多分辨分析定义Mallat S.G. Multiresolution Approximation and Wavelet Orthonormal Bases of . Trans. AMS, 1989, 315(1). 69~87. 由多分辨定义，可构造得到某个 ，使得 构成 的规范正交基，从而 构成 的规范正交基 。 又可以构造得到某个小波函数 ，使得 构成 的规范正交基。 定义： 则 双尺度方程： Mallat算法： 定义 则　　　　离散值　　　　　有分解算法 重构算法 二维离散小波变换可以利用X、Y两个方向的叉积实现： ，二维正交小波函数： 例子:图像处理－增强 LL HL LH HH 分解 重构 处理 例子－－压缩 　　未来的时代是信息时代，信息需要通过媒体来进行记录、传播和获取。最重要的信息媒体是文字、图象和声音。图像是十分直观和生动的，其内涵非