傅立叶变换(FFT)离散余弦变换(DCT).ppt

第3章 图像变换;问题的提出;线性系统;二维线性系统;点源和狄拉克δ函数 ;狄拉克δ函数性质;(5)筛选性;卷积;原点对折;;相关;一维连续傅立叶变换;如果令w＝2πu，则有;实例;;结论;二维连续傅立叶变换;例：求如图所示的函数的傅立叶谱;其傅立叶变换为：;;离散傅立叶变换;;二维离散傅立叶变换;一个M×N大小的二维函数f(x,y)，其离散傅立叶变换对为 ;;（1）可分性;其意义：一个二维傅立叶变换或反变换都可以分解为二步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换或反变换;（2）平移性;也就是说，当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变;平移;（3）周期性和共轭对程性;（4）旋转不变性;（5）分配性和比例性;（6）平均值性质;（7）卷积定理;指出傅立叶变换一个主要好处：与其在一个域中作不直观的，和难懂的卷积，不如在另外一个域中作乘法，可以达到相同的效果;;;为了避免循环卷积，可以对原被卷积函数补零。由于卷积结果的长度为N=A+C-1，因此，可以把两个被卷积的函数的长度扩展到N，并在原函数定义区间外的部分补零，即取 ;（8）相关定理;;快速傅立叶变换(FFT);其原理：;将正变换(1)展开得到：;观察上面的系数矩阵，发现Wmn是以N为周期的，即;可见，离散傅立叶变换中的乘法运算有许多重复内容。1965年库利-图基提出原始的N点序列依次分解成一系列短序列，然后，求出这些短序列的离散傅立叶变换，以此来减少乘法运算，例如，设：;因为：;由上面的分析可见，一个N点的离散傅立叶变换可由两个N/2点的傅立叶变换得到;实例;离散余弦变换;一维离散余弦变换;二维离散余弦变换;如果令N=4，由一维解析式定义可得如下展开式：;同理，可得到反变换展开形式：;离散余弦变换的计算;则fe(x)的离散余弦变换可写成为：;同理，在反变换时，首先在变换空间，把[F(u)]作如下延拓：;计算余弦变换的步骤为 ;;离散K-L变换;;图像协方差矩阵;;X向量的协方差矩阵CX定义为;直接求矩阵CX的特征值和特征向量很困难。这是因为CX是N2×N2维矩阵，尽管图像的大小N可能不是很大的，但N2却是很大的数据。这样求其特征向量和特征值速度较慢。但如果样本图象个数M不太多，可以先计算出M×M维方阵L＝ATA的特征值μk和特征向量 vk;K-L变换的性质和特点;（3）对角性;X1;K-L变换的最大优点是去相关性好，可用于数据压缩和图像旋转 主要困难是由于协方差矩阵CX求特征值λ和特征向量解方程的计算量大，同时K-L变换是非分离的，二维不可分，一般情况下，K-L变换没有快速算法;实例;图像的归一化;1、进行图像旋转，以使Er和El的连线ErEl保持水平。这保证了人脸方向的一致性，体现了人脸在图像平面内的旋转不变性;经过校准，不仅在一定程度上获得了人脸表示的几何不变性，而且还基本上消除了头发和背景的干扰。;K-L变换;设A是一秩为r的n×r维矩阵，则存在两个正交矩阵：;由于∑可表示为：;将特征值从大到小排序：λ0≥ λ1≥… ≥ λr-1，其对应的特征向量为ui。这样，每一幅人脸图像都可以投影到由u0,u1…,uM-1张成的子空间中。因此每一幅人脸图像对应于子空间中的一个点，同样，子空间中的任一点也对应于一幅图像;特征脸;对于任一待识别样本f，可通过向“特征脸”子空间投影求出其系数向量： y=Utf 其重建图像 f^=Uy 考虑重建图像的信噪比 RSN=10lg(||f||2/||f-f^||2) 若其小于阈值，则 可判断f不是人脸图像。;小波变换;为了用傅立叶变换研究一个模拟信号的谱特性，必须获得信号在时域中的全部信息，包括将来的信息，即傅立叶变换对时间的分辨率为0，对频率的分辨率为无穷。如果一个信号在某个时刻的一个小的邻域中变化了，那么整个频谱就受到影响。如语音信号、地震信号等，希望知道信号在突变时刻的频率成分，如利用傅立叶变换，这些非平稳的突变成分被傅立叶变换的积分作用平滑了。 可以看出，在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应用中，只有傅立叶变换公式是不够的，傅立叶变换无法反映信号的局部时域和频域特性，只适宜处理平稳信号;在信号的时间-频率分析中，D.Gabor注意到了傅立叶变换的不足，在1946年，论文中为提取信号傅立叶变换的局部信息，引入了一个时间局部变化的“窗函数”，－称为Gabor变换，又称为加窗傅立叶变换;1984由法国的从事石油勘测信号处理的地球物理学家Morlet提出的，他在分析地震波的时频局部特性时，希望使用在高频处时窗变窄，低频处频