计算物理课件-中科大孙霞.pdf

迭代 混沌 分形 §1 计算物理量的迭代方法 中学中我们经常遇到的等差序列 a ,a +d ,a +2d ,... 0 0 0 和等比序列 2 a ,a q,a q ,... 0 0 0 这两个序列的共同之处是，自第二项开始，每一项都是对其前一项作同一种运算(或加 d，x x =+d ；或乘以q，x qx )而得来的。这种不断重复同一种运算的算法称为迭 n+1 n n+1 n 代法。 如果一个物理量的表达式中含有该物理量本身，即 x f (x ) (1.1.1) 求解这个物理量时通常采用数学上的迭代法。 1.1 直接迭代法 先设一个初值x ，计算出f (x ) ＝x ，再将x 代入计算，得到f (x ) ＝x ，f (x ) ＝x ，于是每一 0 0 1 1 1 2 2 3 步都是 f (x ) x (1.1.2) n n+1 的形式，等等。一直到 xn+1 xn (1.1.3) 实际计算中由于计算的步数是有限的，因此很难实现严格的相等，通常设定一个收敛系数ε， 当 x −x n+1 n ≤ε (1.1.4) x n 得到xn+1 ≈xn 。ε的数值可以是万分之一，或者千分之一或者百分之一，这由系统是否容易 收敛而定。如果系统容易收敛，可把ε的数值定小一些。 1.2 牛顿迭代法 求根的方程的更为一般的形式是， g (x ) 0 (1.2.1) (1.1.1)式是一个特例，形式为g (x ) f (x ) −x 0 。 设方程(1.2.1)的根为x ，将方程在x 的邻域内作Taylor展开，取其一阶近似，即 0 0 ′ g (x ) ≈g (x ) +g (x )(x −x ) 0 (1.2.2) 0 0 0 于是有