四年级奥数容斥原理教案.docx

奥数：容斥原理 教学目标： 1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。 、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。 、培养学生良好的书写习惯。 一、教学内容 （一）知识介绍 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当 两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对 n 个事物，如果采用不同的分类标准， 按性质 a 分类与性质 b 分类（如图），那么具有性质 a 或性质 b 的事物的个数 =Na＋Nb－Nab。 Na Nab Nb （二）例题精讲 例 1、一个班有 48 人，班主任在班会上问： “谁做完语文作业？请举手！ ”有 37 人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！ ”有 42 人举手。最后问：“谁语文、 数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 【思路导航】 完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37＋ 42=79 人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语 文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就 多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有： 79－48=31 人。 例 2、某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 1 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对？ 【分析与解答】 已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 25－15=10 人。又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数： 10＋23=33 人。所以，两题都答得不对的有 36－33=3 人。 3、某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 27 人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 【分析与解答】 要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数： 56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数： 28＋27－31=24 人。 4、 1 到 100 的自然数中，既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个？ 【分析与解答】 从 1 到 100 的自然数中，减去 5 或 6 的倍数的个数。 从 1 到 100 的自然数中， 5 的倍数有 100÷5=20 个， 6 的倍数有 16 个（ 100÷6=16?? 4），其中既是 5 的倍数又是 6 的倍数（即 5 和 6 的公倍数）的数有 3 个（100÷30=3?? 10）。因此，是 6 或 5 的倍数的个数是 16＋20－3=33 个，既不是 5 的倍数又不是 6 的倍数的数的个数是： 100－33=67 个。 5、光明小学举办学生书法展览。 学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有 24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 【分析与解答】 由题意知， 24 幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数， 22 幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。 24＋22=46 幅，这是一 2 个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两 个年级共参展的 10 幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数， 再除以 2，即可求出其他年级参展作品的总数。 （24＋22－10）÷ 2=18 幅。 三、教学练习 1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？ 2、五（ 1）班有 40 个学生，其中 25 人参加数学小组， 23 人参加科技小组，有 人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？ 3、一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不 3 会的有 4 人。两样都会的有多少人？ 4、在 1 到 200 的全部自然数中，既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的数有多少个？ 5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32 件。 其他年级参展的作品共有多少件？ 四、教学小结 4 六、课后练习 1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电 子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？ 2、某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖 了，有