微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第四章 导数的应用第六节 曲线的凹凸性与拐点.pptVIP

* 第六节 曲线的凹凸性与拐点 凹弧 凸弧 O x y x 1 x 2 2 2 1 x x + 2 ) ( ) ( 2 1 x f x f + f ( x 1 ) f ( x 2 ) ) 2 ( 2 1 x x f + O x y x 1 x 2 2 2 1 x x + 2 ) ( ) ( 2 1 x f x f + f ( x 1 ) f ( x 2 ) ) 2 ( 2 1 x x f + 定义1 设 f(x) ?C[a, b], 在(a, b)内可微,如果对于区间上任意两点 x1，x2(x1?x2)恒有 那么称f(x)在(a,b)内的图形是凹的； 若 那么称 f(x)在(a,b)内的图形是凸的； 定义2 连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点. 拐点 定理1 设 f (x)?C[a, b], 在(a,b)内具有二阶导数，若在(a,b)内 例1 判断曲线 y = lnx 的凸凹性. 解 所以曲线 y =lnx 在是凸的. 例2. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 例3 讨论下列曲线拐点的存在性。 解 (1) 当x?(-?，2)时， 对应曲线为凸弧； 当x?(2，+?)时， 对应曲线为凹弧， 因此，曲线只存在拐点(2，0). 除x =0外，处处有 对应曲线在(-?，+?)上为凹弧，无拐点. 例4 函数定义域为(??, ??). 求二阶导数， 凹 凸 凹 拐点 拐点 拐点(0, 1), 解