微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第五章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质.pptVIP

第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 说明：由上述各例可知,对一些简单的积分问题,总是设法将被积函数进行恒等变形，化简后才能使用基本积分表. 在微分学中我们已经介绍了求一个已知函数的导数与微分的问题，在科学技术和经济管理中，常常需要研究其逆运算，即已知函数的导数，求这个函数.这种由导数或微分求原函数的运算，称为不定积分. 定义1 如果在区间 I 上, 可导函数 F (x) 的导数为 f (x), 即对任意的 x?I, 均有 则称函数 F (x) 为 f (x) 区间 I 上的一个原函数. F ?(x) = f (x) 或 dF (x) = f ?(x)dx, 例如, 当 x?(-?, +?) 时, 因为 (sinx)?=cosx, 所以 sinx 是 cosx 在 (-?, +?) 内的一个原函数. 又如, 当 x ? (0, +?) 时, 因为 在区间 (0, +?) 内的一个原函数. 定理 (原函数存在定理) 简言之, 连续函数必有原函数. I 上连续, 那么在区间 I 上存在可导函数 f (x), 使得对任意的 I , 均有 F ?(x) = f (x) . 如果函数 f (x) 在区间 一个原函数, 则 F (x) + C 也是 f (x) 的原函数. 所以, 如果是 f (x) 的 由于常数的导数等于零, 另一方面, 如果 F (x) 和 G (x) 都是 f (x) 的原函数, 则有[F (x) ? G (x)]? = 0, 即 F (x) = G (x) + C, 所以, f (x) 的任意两个原函数之间只相差一个常数. 这样就得到: 如果 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数, 则在区间 I 上, f (x) 的所有原函数可表示为 F (x) + C . 在区间 I 上, 函数 f (x) 的带有任意常数 其中, 记号 ? 称为积分号, f (x) 称为被积函数, f (x)称为被积表达式, x 称为积分变量. 如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数, 则有 项的原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分, 记做 定义2 例1 求 解 因为 (x3)? = 3x2, 所以 例2 求 解 因为 例3 求 解 当 x 0 时, 因为 当 x 0 时, 因为 从不定积分的定义, 可得下述关系式: 例4 求经过点 (1, 3), 且其切线的斜率为 2x 的曲线方程. 解 由于 得曲线族 y = x 2 + C. 将 x = 1, y = 3 代入, 得 C = 2, 所以所求曲线为 y = x 2 + 2 . (k为常数); 以上15个基本积分公式是求不定积分的基础,必须熟记. 例5 求 例6 求 性质1 设函数 f (x)及 g (x) 的原函数均存在, 则 证 性质2 设函数 f (x) 的原函数存在, k为非零常数, 则 例7 求 例8 求 例9 求 例10 求 例11 求 例12 求 例13 生产某产品 个单位的总成本 为产量 的函数.已知边际成本函数为 固定成本为10000元,试求总成本 与产量 的函数关系. 解 由边际成本函数 故总成本函数为 由已知固定成本为10000元,即 ,得 故所求成本函数为