综合法求直线与平面所成的角(解析).docVIP

. . 综合法求直线与平面所成的角 方法：直线与平面所成的角 1.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为eq \r(3)，求直线AB和平面α所成的角． ．解　(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝eq \r(3).过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝eq \f(2－1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3). ∴∠BAH＝30°. (2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成 的角． ∵△BCB1∽△ACA1， ∴eq \f(BB1,AA1)＝eq \f(B1C,CA1)＝2， ∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝eq \r(3)， ∴B1C＝eq \f(2\r(3),3). ∴tan∠BCB1＝eq \f(BB1,B1C)＝eq \f(2,\f(2\r(3),3))＝eq \r(3)， ∴∠BCB1＝60°. 综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°. 2.如图，在三棱锥中，在底 面ABC的射影为BC的中点，D为的中点. （1）证明：； （2）求直线和平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)略；(2) 【解析】 (1)利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直； (2)通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值. 试题解析：(1)设为中点，由题意得平面，所以. 因为，所以. 所以平面. 由，分别为的中点，得且，从而且， 所以是平行四边形，所以. 因为平面，所以平面. (2)作，垂足为，连结. 因为平面，所以. 因为，所以平面. 所以平面. 所以为直线与平面所成角的平面角. 由，得. 由平面，得. 由，得. 所以 【考点定位】1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角. 【名师点睛】本题主要考查空间直线与平面垂直的证明以及直线与平面所成角的大小的计算.能够利用直线与平面垂直的定义及判定，通过直线与直线垂直证明得到直线与平面垂直；通过证明直线与平面垂直，构造得到直线与平面所成角的平面角，利用解三角形的知识计算得到其正弦值.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力，考查学生空间问题转化为平面问题的转化与化归能力. 3．在三棱柱中中，侧面为矩形，是的中点，与 交于点，且平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得到，而线线垂直的寻找与论证，往往需要结合平几知识进行：如本题就可利用三角形相似得到，再由线面垂直平面得到线线垂直，因此得到平面，即（2）由（1）中垂直关系可建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角：先求出各点坐标，表示出直线方向向量，再利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求解 试题解析：（1）由题意， 又，∴， ∴， ∵，∴，又平面，∴， ∵与交于点，∴平面，又平面， ∴． （2） 如图，分别以所在直线为轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以． 设直线与平面所成角为，则 考点：线面垂直判定与性质定理，利用空间向量求线面角 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 4.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2eq \r(2)，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC. (1)证明：PC⊥平面BED； (2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小． (1)证明　因为底面ABCD为菱形， 所以BD⊥AC. 又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD. 如图，设AC∩BD＝F，连接EF. 因为AC＝2eq \r(2)，PA＝2，PE＝2EC， 故PC＝2eq \r(3)，EC＝eq \f(2\r(3),3)，FC＝eq \r(2)， 从而eq \f(PC,FC)＝eq \r(6)， eq \f(AC,EC)＝eq \r(6). 因为eq \f(PC,FC)＝eq \f(AC,EC)，∠FCE＝∠PCA， 所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝