微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第十章 无穷级数4二阶方程解的性质.pptVIP

第四节 二、线性齐次方程解的性质 说明: 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 定理 2. 例1：已知方程 三、线性非齐次方程解的性质 定理 5. 定理6. 例3. * 二阶线性微分方程解的性质 一、二阶线性微分方程的一般形式 二、二阶齐次线性方程解的性质 三、二阶非齐次线性方程解的性质 为二阶线性微分方程. 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 通解: 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 其中p(x) , q(x) ,f (x) 均为 连续函数 一、二阶线性微分方程的一般形式 形如： ① ② 证毕 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是： 则： 定义： 设函数 如果存在不全为0得常数 使得： 成立，则称函数线性相关； 否则称函数线性无关。 例2：判断下列函数组线性相关性： （1） （2） （3） 相关 无关 无关 线性相关 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 1、验证 是方程的特解。 2、问 是否是方程的解， 解 1、 三个函数分别代入方程可知均为方程的特解。 2、 是方程的解， 其含有两个独立的任意常数，则是 方程的通解。 特点： （常数） （函数） 若是、是否是通解。 但： 不是通解。 例2 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 ② ① 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解： 因此该方程的通解为 证毕 因而 ② 也是通解 . 定理4 若 是非齐次微分方程两个相异的特 解，则： 是对应齐次微分方程的解。 分别是方程 的特解, 是方程 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理5 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 . 解: 是对应齐次方程的解, 且 常数 因而线性无关, 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三