高等数学微教材积分第三章 第7节.ppt

第六节 微积分基本定理 一、引例 二、积分上限函数及其导数 说明: 三、牛顿—莱布尼茨公式 四、小结 思考与练习： 思考与练习： 解 2、设 求 设 , 则 * 一、引例 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 考察定积分 记 —— 积分上限的函数 设函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，并且设 x 为 [a,b]上的一点， (变上限积分) 类似地 , 可以定义积分下限的函数(变下限积分) 积分上限函数的性质 定理1 如果 f (x)?C[a , b] ，则积分上限的函数 在 [a , b] 上可导， 且它的导数是 证明 课本 Page 203 证 由积分中值定理得 1. 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 定理2（原函数存在定理） 定理2的重要意义： 1) 肯定了连续函数的原函数是存在的. 2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间 的联系. 如果 f (x)?C[a , b] , 则积分上限函数 就是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数. 2. 变限积分求导: 如果 f (t) 连续 , ? (x) 、 ? (x)可导 , 则有： 例1 解 如果 f (t) 连续 , ? (x) 、 ? (x)可导 , 则有： 例2 解 例3 (1) 求 解 (2) 确定常数 a , b , c, 使 解 原式 = c ≠0 , 故 又由 , 得 原式 = 例4 例5 (隐函数求导 ) 解 例6 解 证 令 证 例9 证 定理 3（微积分基本公式） 牛顿—莱布尼茨公式 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 证 得 即 例1 计算 例2 计算 例3 计算 原式 1、解 2、解 3、解 例4 设 , 求 . 解 在 [1,2] 上规定当 x = 1 时 , f (1) = 5, 例5 求 解 注意: 1. 分段函数求定积分: 利用区间可加性,用分段点把积分区间分成若干段,变成若干个积分之和. 2. 若被积函数为绝对值函数, 应先去掉绝对值化为分段函数. 3. 若被积函数为偶次根式, 化为绝对值函数再去掉绝对值化为分段函数. 例6 求 解 例7 求 解 例8 计算正弦曲线 y = sin x 在 [0 , ? ] 上与 x 轴所 围成的面积A. 解 例 计算正弦曲线 y = sin x 在 [0 , 2? ] 上与 x 轴所 围成的面积A. 解 [法一] [法二] 由几何意义可知： 解 例9 设 求 设 则 3. 微积分基本公式 1. 积分上限函数 2. 变限积分函数的导数 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 则有 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式 2、设 求 解 * *