- 1、本文档共7页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
对单摆周期教材上限的讨论和理解
PAGE
PAGE 7
对单摆周期上限的讨论和理解
摘 要:在小摆角的前提条件下,分摆长、=、→∞三种情况讨论单摆振动周期与摆长的关系,推导出单摆作微小振动时周期的上限,并用旋转矢量法和谐振运动的特点,把这周期的上限与几种常见的力学现象进行比较。
关键词:单摆;周期;摆长:
为简单地说明问题,我们不考虑地球自转对重力加速度的影响,并设想质点是在地面附近一个光滑的圆弧形轨道上运动,圆弧和意义上的单摆悬挂点组成的扇面在铅直面内,圆弧的半径为(摆长)。以图1所示,当摆长足够大时与相比不能忽略,点所受的引力方向(即方向)与摆线的夹角,引力在圆弧形轨道切向方向的分量,则摆动的动力学方程为:
(1)
设摆长,以的三种情况,分别对单摆作振动的周期与摆长的关系进行详细的理论分析。
在中,根据余弦定理有:
(2)
又根据正弦定理有:
得到: 则有:
(3)
将(2)、(3)式代入(1):
。
整理后得到摆动的动力学方程为:
在不考虑地球自转对重力加速度的影响的条件下有,代入上式并整理得到:
(4)
以下从的三种情况对(4)式进行讨论和分析:
当、并且(足够小,不能忽略)时,则有: 和,那么(4)中的
所以(4)式可简化为:
由于单摆的摆长为,故有:
(5)
故当时这摆动的振动周期为:
(6)
由此可见,(5)式和(6)式分别是理想单摆模型谐振动动的力学方程式和周期公式。从而也说明(1)~(4)式的推导是正确的。
2、当、 (足够小,不能忽略)时, ,那么有:
则当、时(4)式可简化为:
(7)
设,那么(7)式中的,由于,所以、符合幂级数 展开的条件:
(8)
则根据(8)式,整理(7)式可得:
(9)
在时(9)式中的与两者之间的差值已是万分之一的数量级, 时其差值就是百万分之一的数量级, 所以,在条件下, (9)式完全可以简化为:
(10)
故当时单摆的振动周期为:
3、当时,且,则有,那么:
则式简化为:
,
设,变量替换上式为,虽然,摆长趋于无限大,,但同时今无限小,并满足的条件下,
显然这时摆的振动不是简谱振动,要得振动是简谱振动,其周期在与之间, 在时,只有满足时, 才能得到,单摆周期才有极限为
从而可以看到
,足够小时, 可认为定值 无限的小,比更小,,
时= ,
,时可认为定值,无限的小, 的减小比增加快,.
(11)
设,且,并将(11)式中的项展开为:
则(11)式可写为:
(12)
(12)式中的在满足的前提条件下,其取值应是足够的大,如时,就可取,随着的增大(),也随与之相应的减小(),则(12)式完全可以简化为:
(13)
故当时,单摆的振动周期极限为:
(14)
分析与比较: 1、当单摆的摆长等于或大于地球半径时,最初整理出来的振动动力学方程分别为(7)式和(11)式,虽然,这两个方程从形式上看不是理想的振动微分方程的形式,但是, (7)式和(11)式经过幂级数展开,并根据相应的条件作恰当处理后,显然,都可以得到与之对应的理想的谐振微分方程式(10)和(13)式。其周期分别约为和。
2、 (14)式也是人造地球卫星以第一宇宙速度()绕地球表面飞行的周期,也就是说“人造地球卫星绕地球作周期性运动的周期下限与单摆( →∞)振动周期的上限相同”。对此并不难理解,我们不妨将人造地球卫星绕地球的周期性运动,想象成是一个长度为、绕地心转动的角速度为的旋转矢量,又由于,图 2所以,旋转矢量的旋转周期是(14)式,这旋转矢量末端在与地球表面相切的光滑直线轴上的投影点与摆长 →∞的单摆在、之间的振动等效,示意图如图2。 当质点在地球内任意一个光滑的直线隧道中振荡时,它的振动周期也是用(14)式表示(见文献[2],将代入其中的式(7.48) 并利用即可得到式(14))。显然,式(14
文档评论(0)