对单摆周期教材上限的讨论和理解.doc

PAGE PAGE 7 对单摆周期上限的讨论和理解 摘 要：在小摆角的前提条件下,分摆长、=、→∞三种情况讨论单摆振动周期与摆长的关系，推导出单摆作微小振动时周期的上限，并用旋转矢量法和谐振运动的特点，把这周期的上限与几种常见的力学现象进行比较。 关键词：单摆；周期；摆长: 为简单地说明问题，我们不考虑地球自转对重力加速度的影响，并设想质点是在地面附近一个光滑的圆弧形轨道上运动，圆弧和意义上的单摆悬挂点组成的扇面在铅直面内，圆弧的半径为(摆长)。以图1所示，当摆长足够大时与相比不能忽略，点所受的引力方向（即方向）与摆线的夹角，引力在圆弧形轨道切向方向的分量，则摆动的动力学方程为： （1） 设摆长，以的三种情况，分别对单摆作振动的周期与摆长的关系进行详细的理论分析。 在中，根据余弦定理有： （2） 又根据正弦定理有： 得到： 则有： （3） 将（2）、（3）式代入（1）： 。 整理后得到摆动的动力学方程为： 在不考虑地球自转对重力加速度的影响的条件下有，代入上式并整理得到： （4） 以下从的三种情况对（4）式进行讨论和分析： 当、并且（足够小，不能忽略）时，则有： 和，那么（4）中的 所以（4）式可简化为： 由于单摆的摆长为，故有： （5） 故当时这摆动的振动周期为： （6） 由此可见，（5）式和（6）式分别是理想单摆模型谐振动动的力学方程式和周期公式。从而也说明（1）～（4）式的推导是正确的。 2、当、 （足够小，不能忽略）时， ，那么有： 则当、时（4）式可简化为： （7） 设，那么（7）式中的，由于，所以、符合幂级数 展开的条件： (8) 则根据(8)式，整理（7）式可得： (9) 在时(9)式中的与两者之间的差值已是万分之一的数量级, 时其差值就是百万分之一的数量级, 所以,在条件下, (9)式完全可以简化为: (10) 故当时单摆的振动周期为： 3、当时,且，则有，那么： 则式简化为： ， 设,变量替换上式为,虽然,摆长趋于无限大,,但同时今无限小，并满足的条件下， 显然这时摆的振动不是简谱振动,要得振动是简谱振动,其周期在与之间, 在时,只有满足时, 才能得到,单摆周期才有极限为 从而可以看到 ,足够小时, 可认为定值 无限的小,比更小,, 时= , ,时可认为定值,无限的小, 的减小比增加快,. （11） 设,且，并将(11)式中的项展开为： 则（11）式可写为： （12） (12)式中的在满足的前提条件下,其取值应是足够的大,如时,就可取,随着的增大（），也随与之相应的减小（），则(12)式完全可以简化为: （13） 故当时,单摆的振动周期极限为： （14） 分析与比较: 1、当单摆的摆长等于或大于地球半径时，最初整理出来的振动动力学方程分别为（7）式和（11）式，虽然,这两个方程从形式上看不是理想的振动微分方程的形式，但是, （7）式和（11）式经过幂级数展开，并根据相应的条件作恰当处理后，显然，都可以得到与之对应的理想的谐振微分方程式（10）和（13）式。其周期分别约为和。 2、 (14)式也是人造地球卫星以第一宇宙速度（）绕地球表面飞行的周期，也就是说“人造地球卫星绕地球作周期性运动的周期下限与单摆( →∞)振动周期的上限相同”。对此并不难理解，我们不妨将人造地球卫星绕地球的周期性运动，想象成是一个长度为、绕地心转动的角速度为的旋转矢量，又由于，图 2所以，旋转矢量的旋转周期是（14）式，这旋转矢量末端在与地球表面相切的光滑直线轴上的投影点与摆长 →∞的单摆在、之间的振动等效，示意图如图2。 当质点在地球内任意一个光滑的直线隧道中振荡时，它的振动周期也是用(14)式表示(见文献[2]，将代入其中的式(7．48) 并利用即可得到式(14))。显然，式(14