微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第十章 无穷级数2一阶方程.ppt

第二节 一、可分离变量方程 分离变量方程的解法: 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例3 求方程 二、齐次方程 例1. 解微分方程 例2. 解微分方程 例4. 解微分方程 例5 三、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例1. 解方程 解法二： 例2 求微分方程 例3： 求微分方程 例5：求下列微分方程的通解 例6: 思考与练习 伯努利(1654 – 1705) * 一阶微分方程 一、可分离变量的一阶微分方程 二、一阶齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 如果一个一阶微分方程为: 称为可分离变量方程。 （2）两边积分, 得： ① ② 则有 （1）化简： （3）求积分： 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 解: 两边积分得： 分离变量得： 通解： 的通解(其中P(x)为连续函数). 即 ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 求解微分方程 微分方程的解为 解 例3 解: 代入上式并整理后则有 分离变量并两边同时积分有： 通解 解 代入原方程 原方程的通解为 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 称为齐次方程 ; 其中P(x), Q(x)是x 的已知函数 ， Q(x)为自由项。 称P(x)为变系数； 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 设通解形式 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 设（1）的解为 两端积分得 解法一: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 直接应用一阶微分方程通解公式 故原方程通解为 的通解。 解： 原式整理为 由公式得通解 满足 的特解。 上式不是一阶线性方程的形式， 函数，方程可写为： 此方程为一阶线性微分方程。 通解： 解： 若将 x 看成 y 的 用通解公式有： 特解： 求微分方程 的通解. 例4 解 解法1 化为齐次方程. 原方程变形为 积分得 将 代入 , 得通解 解法2 化为线性方程. 原方程变形为 其通解为 即 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 解: 令 利用公式可求出 方程两边求导，整理得