微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第五章 不定积分第四节 有理函数的积分.pptVIP

第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、三角有理式的积分 有理函数总可以写成两个多项式之比, 即 其中, m 和 n 都是非负整数; a 0, a 1, ?, a n 及 b 0, b 1, ?, b m 都是实数, 且 a 0 ? 0, b 0 ? 0. 当 m n时, 称为真分式; 当 n ? m 时, 称为假分式. 假分式可以用除法化为一个整式与一个真分式的和. 因此, 只讨论真分式的积分. 例1 将 分解为部分分式. 解 设 2x - 1 = A(x?2) + B(x?3) (1) 去分母得 有两种方法可求 A 与 B. 解方程组得 A = 5, B = ?3; 第一种 比较式(1)左、右两边的系数, 得 在恒等式(1)中, 令 x = 2, 得 B = - 3; 令 x = 3, 得 A = 5. 因此 第二种 例2 将 分解为部分分式. 解 设 去分母得 令 x = 1, 得 B = 2; 解方程组得 A = 2, B = 2, C = ?2, D = ?1. 因此 令 x = 0, 得 ?1 = ? A + B + D; 令 x = ?1, 得 ?2 = ?6A + 3B + 4(?C + D); 令 x = 2, 得 7 = 3A + 3B + 2C + D. 由上面有理真分式的分解可见, 任何有理函数的积分可以化为下面四类分式的积分. 其中 A, M, N, a, p, q 均为常数, 且 p 2 – 4q 0, m, n 为大于1 的整数. 由代数学知识，有理函数有下列性质： （1）一个有理假分式可以表示成一个多项式与一个有理真分式之和； （2）一个有理真分式可以分解成有限个最简分式之和. 有理函数的积分就归结为有理真分式的积分，而有理真分式的积分问题又归结为最简分式的积分问题.因此，需要讨论下面两个问题： （1）如何将一个有理真分式分解成有限个最简分式之和； （2）最简分式的积分方法. 例3 求 解 由例1 知 例4 求 解 原式 例5 求 解 因为 例6 求 解 由例 2 知 由 sinx 和 cosx 经有限次四则运算得到的函数, 记做 R(sinx, cosx), 称为三角有理式, 对三角有理式的积分 有一种万能代换法, 即令 三角有理式的积分可以变为 t 的有理函数的积分.