实数上限拓教材扑空间.pdf

第12卷第4期 衡水学院学报 V01．12．No．4 Journalof 2010年8月 Hengshui Aug．2010 University 实数上限拓扑空间 李艳颖 (宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721007) 摘要：实数上限拓扑空间口。是拓扑学的一个重要反例．在拓扑学中，很多重要结论都要用到它，因此研究口。的性质， 对我们澄清一些易混淆的错误观点具有非常重要的作用．重点分析拓扑空间口。的连通性、可数性和正规性． 关键词：拓扑空间；连通性；可数性；正规性 中图分类号：0189．11 文献标识码：A 文章编号：1673．2065(2010)04．0012-02 拓扑学是一门比较抽象的学科，很多人在初次接触拓扑学时，都觉得它十分抽象，不易理解．事实上，如 果我们先从熟悉的实数集入手，就会相对容易理解一些．实数集是点集拓扑学中最重要的一个研究对象，也是 最贴近实际的一个集合．在实数集上有若干个常见的拓扑，如实数集的通常拓扑、上限拓扑、下限拓扑、左手 拓扑、右手拓扑等等．这些拓扑经常被拿来当作反例来说明一些问题．我们知道掌握任何一门数学知识的方法 除了深刻理解知识点，熟悉已解决的例题、习题外，还必须储备一批有用的反例．尤其是在拓扑学这门抽象的 学问中，如果依靠人们平常的直观想法，有时容易推出错误的结论．因此，对于拓扑学感兴趣的人，至少应该 十分精通、熟悉实数集上的常见的反例． 其中实数上限拓扑空间口。是常见的一个反例．在拓扑学中，很多重要结论都要用到它，因此研究R。，的性 质，对我们澄清一些易混淆的错误观点具有非常重要的作用．本文重点分析了拓扑空间R。的连通性[11、可数 性和正规性【2】． 1 实数上限拓扑空间R，．[31 实数的上限拓扑，记做r。，实数上限拓扑空间记做(R，r。)，简记R。．并且R的通常拓扑r0r。．即实数上限 拓扑空间(R，r。)不同于通常实数空间． 2实数上限拓扑空间的一些拓扑性质 定理1实数上限拓扑空间(R，I。)是不连通空间． 证明 往证实数上限拓扑空间有既开又闭的非空真子集．已知卢={a，圳口，b∈R，口b}是实数上限拓扑的 集．即(口，b1是上限拓扑空间的一个非空的既开又闭的真子集，所以实数上限拓扑空间是不连通的． 定理2 实数上限拓扑空间(R，11。)满足第一可数性公理，但不满足第二可数性公理． r 1 J 1 证明 ’ 。 刀l 族．从而(R，r。)满足第一可数性公理． 下面说明实数上限拓扑空间(R，r。)不满足第二可数性公理．假设∥为实数上限拓扑空间(R，r。)的一个可 点x≠y，不妨设xy，由E c(x-1，z】和Bc(少一1，y】可知yg(工一1，X]，从而y芒B，而Y∈B，这说明最≠B． 收稿日期：2010-02．1l 基金项目：’主鸡文理学院院级重点项日(ZK0786) 作者简介：李艳颖(1981-)，女，吉林松原人，’蛊鸡文理学院数学系教师，理学硕士 万方数据 第4期 李艳颖实数l：限拓扑空间 13 即实数集中不同的点对应∥中不同的兀索，这与∥可数矛盾．即实数上限拓扑空间没有可数基，不满足第二 可数性公理． 定理3 有限可积性质． 证明 设人={(％，吃】)。。，是由∥={(口，b]l口，b∈R，口b}中元素组成的R的一个开覆盖． 第二可数性公理怛1，由于A={(吒，6口1}，是C的一个开覆盖族，从而存在其_个可数子覆盖{(吒，乞)I}覆 ～、” ”J，口E，