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进才中学高一年级数学深广课程（六）阶段复习 【典型例题】 例1：解关于的不等式：。 例2：已知集合，。若，求实数的取值范围。 例3：定义域分别是的函数，函数. （1）若函数；，写出函数的解析式； （2）求问题（1）中函数的最大值。 例4：已知集合，，，若，求实数的取值范围. 例5：已知关于的方程。求方程至少有一个正根的充要条件。 例6：设函数。 （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； （3）若在上的最小值为，求实数的值。 例7： A M P N B C D如图所示，已知小矩形花坛中，，。现要将小矩形花坛扩建成一个大矩形花坛，使点在上，点在 A M P N B C D （1）要使矩形的面积大于，的长应在什么范围内？ （2）是否存在这样的位置：使矩形的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的的长度；若不存在，请说明理由。 【针对训练】 “至少两个”的否定形式是 。 命题“”的一个充分不必要条件是 ；一个必要不充分条件是 。 解不等式：（1）的解集是________.（2）的解集是_________. 设集合，，则 。 已知,若，则的取值范围是 。 若则不等式的解集为 。 已知集合，，则________. 若不等式成立的充分条件是，则的取值范围是 . 已知全集，，且，则 。 设非空集合，若当时，必有，则这样的集合共有 个。 若集合是的子集，则的取值范围是 。 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。 设是正数，且，求的最小值 . 已知，为正常数，则函数的最小值为 。 关于的方程的两个根，一个大于1，另一个小于1，则实数的取值范围是_______________。 若关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 已知集合，对它的非空子集，将中每个元素，都乘以再求和，如，可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和是 。 设集合，集合是集合的子集。存在，若且，则称为集合的“孤立元素”。则集合的含有4个元素且不含有“孤立元素”的子集共有 个；含有4个元素且仅含有1个“孤立元素”的子集共有 个；含有4个元素且含有2个“孤立元素”的子集共有 个。 进才中学高一年级数学深广课程（六）阶段复习 【典型例题】 例1：解关于的不等式：。 原不等式等价于。 ①时，；②时，； ③时，；④时，；⑤时，。 例2：已知集合，。若，求实数的取值范围。 ，或。由：，∵，∴。 ∵?，∴，或。 例3：对定义域分别是的函数，规定函数. (1)若函数；，写出函数的解析式； (2)求问题（1）中函数的最大值。 解：（1）（2）时，。 例4：已知集合，，，若，求实数的取值范围. 例5：已知关于的方程。求方程至少有一个正根的充要条件。 当时，方程化为，有且仅有一个正根。 当时，方程是一元二次方程，且。据题意，方程有两个正根，或有一个正根，一个负根。 ①方程有两个正根 解该不等式组，得或。 ②方程有一个正根、一个负根，解不等式，得。 综上，方程至少有一个正根的充要条件是或。 例6：设函数。 （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； （3）若在上的最小值为，求实数的值。 解：（1）据题意，，且，解得，。 （2）方程，即为，∵，∴， 时，， ∵，∴实数的取值范围是。 （3），对称轴为，若，，不合题意。舍去； 若，则在上递减，在上递增；由。 若，则在上递增，在上递减；由。 综上，或即为所求。 例7： A M P N B C D如图所示，已知小矩形花坛中，，。现要将小矩形花坛扩建成一个大矩形花坛，使点在上，点在 A M P N B C D （1）要使矩形的面积大于，的长应在什么范围内？ （2）是否存在这样的位置：使矩形的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的的长度；若不存在，请说明理由。 （1）设，∵∽，∴，即， ，解得或，又，∴的长的变化范围是。 （2），当且仅当时，。 即当，时，矩形面积的最小值为。 【针对训练】 “至少两个”的否定形式是 。至多一个 命题“”的一个充分不必要条件是；一个必要不充分条件是。 解不等式：（1）的解集是________.（2）的解集是_________. 设集合，，则。 已知,若，则的