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积分上限函教材数及其导数
2
§ 微积分学基本定理
1、积分上限函数及其导数
1 f (x ) [ ,a]b x b [,a ] f (x ) [ ,a ]x
定义 ：设 在 上可积，则对 ， 在 上也可积，
x
(x) f t dt( ) [x ,a]b x 为自变量的函
于是，由 ， 定义了一个以积分上限
a
b
x b [,a ] ()x
) (x( f t)dt 称为变下限的函数；
数，称为变上限函数； ，
x
和(x) 统称为变限函数。
x
1 f (x ) [ ,a]b x ) f t ((dt) [ ,a]b
定理 若函数 在 上可积，则变上限函数 在 上
a
连续。
2 f (x ) [ ,a]b
定理 （原函数存在定理）：若函数 在 上连续，则变上限函数
x d x
( )x f t ( )dt [ ,a]b ( )x f t dt( ) f (x ) [ ,a]b
在 上可微，且 ，x
a dx a
x a [b , ] x x a b [ , ]
证： ，任取x 0 ，且 ，则
x x x
(x )x ( )x f t dt( ) ft dt( )
a a
x x+ x
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