放射性废物的处理问题.doc

PAGE 1 PAGE 4 §17.2 放射性废物的处理问题 [学习目标] 1. 能建立放射性废物的处理问题的数学模型； 2. 会求解放射性废物的处理问题的数学模型； 3. 能用放射性废物的处理问题的数学模型解决一些实际问题。 环境污染是人类面临的一大公害，放射性污染对人类生命安全和地球上生物的生存有严重的威胁，所以特别为人们所关注。和平利用原子能，为人类造福不浅，但是核废物处置不好，又将对人类是一大危害。核废物如何处置为好，必须进行科学论证。 曾经有一段时间，美国原子能委员会为了处理浓缩的放射性废物，他们把废物装入密封的圆桶，然后扔到水深为91.5m 的海里。一些生态学家和科学家为此表示示担心，圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会向他们保证:：“圆桶绝不会破裂”。并作了许多种试验证明他们的说法是正确的。然而又有几位工程师提出了如下的问题：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而发生破裂？美国原子委员会仍保证说：“决不会”。这几个工程师进行了大量的实验以后发现：当圆桶的速度超过12.2m/s，就会因碰撞而破裂。下面我们计算圆桶同海底碰撞时的速度，是否会超过12.2m/s？ 如图17.6选取坐标系，记W表示圆桶重量，使圆桶向下，W＝239.46kg，W=mg，m表示质量，g表示重力加速度，g=9.8m/s。 B表示水作用在圆桶上的浮力，推园桶向上。原子能委员会使用的是250.25L的圆桶，体积为0.208m，1m海水重量为1026.52kg，所以B=1026.52×0.208=213.5kg。 D表示水作用在圆桶上的阻力，它阻碍圆桶在水中的运动，与物体运动方向相反，通常与速度v成正比．D = cv，c0为常数．通过大量实验得出如下结论：圆桶方位对于阻力影响甚小，可以忽略不计．且D=0.119kg·s/m．则作用 O在圆桶上的力为 O D F = W-B-cv D B 由牛顿第二定律：物体的加速度同作用在它上面的合 B W力F成正比，即F = m a．而。所以得： W y (1) y 图 图 17.6 则(1)式变为 (2) 这是初值为零的一阶线性非齐次微分方程，其解为 (3) 由(3)式知，圆桶的速度为时间t的函数，要确定圆桶同海底的碰撞速度，就必须算出圆桶碰到海底所需的时间t。遗憾的是，不可能作为y的显函数求出t，所以不能用方程(3)来求圆桶同海底的碰撞速度。但从方程(3)可以得到圆桶的极限速度，当时， 。 显然有，如果极限速度小于12.2m/s，那么圆桶就不可能因同海底碰撞而破裂。然而 这个数值太大了，还不能断定v(t)究竟是否能超过12.2m/s。 下面转而把速度v作为位置y的函数v(y)来考虑： 我们有，由复合函数微分法， · 代入(1)式中，得 显然初始条件为v(0)=0。 为了得到速度v与位置y之间的一个关系式，采用如下方法 而左端 = 前面已讨论(W－B)/c是极限速度，v (W－B)/c，因而W－B－cv 0，于是 (4) 算到这里，又使我们失望，因为不能从(4)式中解出v是y的显函数来，因此要利用v(y)来计算v (91.5) 12.2 m/s是不可能的了。但利用微分方程数值解法，借助于计算机很容易解得v (91.5) = 13.75 m/s． 另外，我们还可以用其它的方法得到v (91.5) 的一个很好的近似值。 圆桶的速度v(y) 满足初值问题 (5) 在(17.17)中令c=0 (即不考虑水的阻力)，并用u代替v，以示区别，得 (6) 直接积分(6)，得 或 由此可得 u (91.5) 就是v (91.5) 的一个很好的近似值，其理由是：