双等边三角形.docVIP

一、 双等边三角形模型 1.如图，点C在线段BD上，△ABD与 △ACE都为等边三角形，求∠BDE的度数． 2.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形， 连接CD、BE．求证：CD=BE． 1. （1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小； C C B O D 图7 A E （2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小. B B A O D C E 图8 3.如图，分别以△ABC的边AB，AC向外 作等边三角形ABD和等边三角形ACE， 线段BE与CD相交于点O，连接OA．（1）求证：BE=DC；（2）求∠BOD的度数；（3）求证：OA平分∠DOE． 2. 已知:点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB的度数。 ③ 若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQ∥AB。（湘潭·中考题） A A B C M N O P Q 4.如图，△ABC是等边三角形，D是 AB边上的一点，以CD为边作等边三 角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧， 连接AE．求证：AE∥BC． 同类变式： 如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. 　　(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； 　　(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 　　 3. 如图9，若△和△为等边三角形，分别为的中点，易证： ，△是等边三角形． （1）当把△绕点旋转到图10的位置时，是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△绕点旋转到图11的位置时，△是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 图 图9 图10 图11 图8 同类变式：已知，如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点． （1）求证：①；②； （2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. C C E N D A B M 图① C A E M B D N 图② 如图，线段BE上有一点C，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE，连结AE、BD，分别交CD、CA于Q、P．（1）找出图中的一组相等的线段（等边三角形的边长相等除外），并说明你的理由．（2）取AE的中点M、BD的中点N，连结MN，问△CMN是否是等边三角形？若是请你说明理由；若不是，请给出你的正确结论，不必证明． 24．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a． (1)E、F移动时，△BEF的形状如何? (2)E点在何处时，△BEF面积的最小值． 16．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点． 4、 如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F． (1)求证：AN=BM； (2)求证：△CEF是等边三角形； (3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)． 8、如图所示，△ABC和△CDE是等边三角形，E是AC延长线上一点，M是AD的中点，N是BE的中点，试说明：△CMN是等边三角形。 1.如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM. 2、点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证： （1）AN=MB.（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立