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用对偶单纯形法求解线性规划问题.
Min z =5x1+3x
s.t. -2 x1 + 3x≥6
3 x1 - 6 x≥4
Xj≥0(j=1,2)
解: 将问题转化为
Max z = -5 x1 - 3 x
s.t. 2 x1 - 3x+ x3 = -6
-3 x1 + 6 x+ x4≥-4
Xj≥0(j=1,2,3,4)
其中,x3 ,x4 为松弛变量,可以作为初始基变量,单纯形表见表4-17.
表4-17 例4-7单纯形表
Cj
-6
-3
-4
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
迭代0次
0
X4
-6
2
[-3]
1
0
0
X5
-4
-3
6
0
1
0
-5
-3
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
迭代1次
-3
X4
2
-2/3
1
-1/3
0
0
X3
-16
1
0
2
1
6
-7
0
-1
0
在表4-17中,b=-160,而y≥0,故该问题无可行解.
注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.
在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.
3.对偶问题的最优解
由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.
设原问题(p)为
Min z=CX
s.t.
则标准型(LP)为
Max z=CX
s.t.
其对偶线性规划(D)为
Max z=bTY
s.t.
用对偶单纯形法求解(LP),得最优基B和最优单纯形表T(B)。对于(LP)来说,当j=n+i时,有Pj=-ei,cj=0
从而,在最优单纯形表T(B)中,对于检验数,有
(σn+1,σn+2…σn+m)=(cn+1,cn+2…,cn+m)-CBB-1(Pn
+1,Pn+2…,Pn+m)=- CBB-1 (-I)
于是,Y*=(σn+1,σn+2…σn+m)T 。可见,在(LP)的最优单纯形表中,剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时,在最优单纯形表T(B)中,由于剩余变量对应的系数
所以
B-1 =(-y n+1,-y n+2…-yn+m)
求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
Min z =6x1+8x
s.t. x1 + 2x≥20
3 x1 + 2x≥50
Xj≥0(j=1,2)
解: 将问题转化为
Max z =-6x1-8x
s.t. -x1 — 2x + x3=20
-3 x1 - 2x+ x4 =50
Xj≥0(j=1,2,3,4)
用对偶单纯形法求解如表
表4-18 例4-8单纯形表
Cj
-6
-8
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
迭代0次
-8
X4
5/2
0
1
-3/4
1/4
-6
X5
15
1
0
1/2
-1/2
-110
0
0
3
1
在引入松弛变量化为标准型之后,约束等式两侧同乘-1,能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解,可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解,非常方便。
对于有些线性规划模型,如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正,最好还是采用单纯形法求解。因为,这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。从这个意义上看,可以说,对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。除此之外,在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法,可以简化计算。
例4-9:求解线性规划问题:
Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3
S.t. x1
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