§15-4 应用拉普拉斯变换分析线性电路.doc

§15-4 应用拉普拉斯变换分析线性电路 前面几节讨论了拉氏变换及拉氏反变换，这些都是为了用来进行电路的分析计算工作。所讲到的那些技能对于用运算法──即用拉氏变换分析计算电路都是必须的，应该熟练掌握。 用运算法计算线性电路，必须用象函数来列写电路方程。或者说将电路方程以复频域函数表达。其基本方法有两种： 1. 根据时域电路模型列出微分方程，用拉氏变换将时域的微分方程转换为复频域的代数方程，然后求出频域解，再经过拉氏反变换求得时域解。 时域电路模型 时域微分方程 复频域代数方程 复频域解时域解 2. 把元件伏一安特性的时域函数转换成复频域函数关系，将时域电路模型转变成复频域电路模型，按复频域电路模型列出复频域电路方程。求出复频域解，再反变换为时域解。 时域电路 求得 。 显然，后一种方法仅列代数方程，比前一种方法简便。 R+ u(t) - R + u(t) - i(t) 电阻R 关联参考方向: 等式左、右求拉氏变换: R+ U(s) -I(s) R + U(s) - I(s) ∴ ──R在复频域的伏一安关系 复频域电路模型 电感L 对上式两边取拉氏变换， 并设，，得 其伏一安关系由微分形式转变为代数式，它的端电压由两部分组成： ① 反映电感初始状态的附加电压源； ② 由复频域感抗引起的电压降。 sL──复频域感抗，又称运算感抗。 由此可得L的复频域模型如下图： 或改写为： ① 反映电感初始状态的附加电流源。 ② 由复频域感纳与产生的电流。 ──复频域感纳、运算感纳。 当时， 有： 电容C 设 对上式取拉氏变换得： ——电容元件在复频域中的伏一安关系 它由时域中的微、积分关系转变成代数形式。 复频域电路模型： ──运算容纳。 ──电容C的初始状态附加电流源。 ──运算容抗。 ──反映C初始状态的附加电压源。 若 或 耦合电感 （流入同名端） 两边取拉氏变换：有： 运算电路为： 其中sM为互感运算阻抗（运算互感抗）， ，为附加电源，二者的参考极性与是否流入同名端有关。若流入异名端，则二者极性与图中相反。 二、电路基本定律 KCL 时域：任一节点（封闭面），若，上式求拉氏变换，根据线性特性，有： 即 在复频域电路中，对任一节点，流入（流出）该节点的复频域电流的代数和恒为零。 KVL 。 在复频域电路中，对任一回路沿一定绕行方向的复频域电压降的代数和恒为零。 3. 复频域的欧姆定律 R、L、C串联电路： 取L： 其中：──运算阻抗（复频域阻抗） 若在零值初始条件下，，则有 ──复频域导纳（运算导纳）。 以上为欧姆定律的复频域形式。 注意：复频域阻抗比较复杂。除与、有关外，还与附加电源（初始状态）有关。 从以上分析可见，复频域电路的约束关系仍为两类： ① 复频域形式的KCL、KVL。 ② 复频域形式的元件伏一安特性及欧姆定律。 依据这两类约束条件，我们可以建立复频域电路方程并求解。而且这两类约束关系与在直流稳态电路，特别是正弦稳态电路的相量法中的形式极为近似──都是代数形式。 实际上，在零初始状态电路中，将或中s换成，、换成、，复频域电路的约束关系就变成相应的相量电路的约束关系。 如：电感：， s换成, 换成，换成 则变成 ，。 因此，在直流电路及相量法中所学到的各种定理及计算方法，如叠加定理，戴维南定理、节点法、回路法等，均可用于复频域电路的分析计算。 三、电路分析举例 应用运算法分析动态电路的步骤： （原则上讲也可用于稳态电路计算） 1. 确定动态元件（贮能元件）的初始值。 （注意：拉氏变换的初始值是时刻的值！） 2. 将时域电路变换为复频域电路，动态元件的初始状态作为附加电源处理。 3. 列出复频域变量的代数方程 4.求解出复频域解，再由拉氏反变换得时域解。 已知如图， 2 2 2 2 40V t=0 uC 2240/s 2 2 40/s UC(s) I1 I2 解：化为运