运用相似三角形解题的方法.doc

运用相似三角形解题的方 一、寻找法 例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC的外接圆的上任一点，连结AD、BD．求证：． 分析：要证，可利用相似三角形，怎样找相似三角形呢？比的前项BE和AE是△ABE的两条边，比的后项BD和AB是△ADB的两条边，所以我们只要证明△ABE∽△ADB就可以了． 证明：∵AB=AC ∴∠ABE=∠C， ∵∠D=∠C，∴∠ABE=∠D， 又∵∠BAD=∠BAE ∴△ABE∽△ADB ∴ 如果这个题的结论是改成证明，则应该把等式左边比的前项和后项看成一个三角形的两条边，而把等式右边的前项和后项看成另一个三角形的两条边；或者交换比例内项的位置也可以． 二、构造法 有时，题目里面没有现成的相似三角形，就需要添线构造了． 例2：如图2，AD是△ABC的高， AE是△ABC的外接圆直径．求证：AB·AC＝AD·AE． 分析：AB·AC＝AD·AE改成比例式就是，根据寻找法需要证明△ABE∽△ADC，但图形中没有△ABE，因此需要连结BE，构造出△ABE，然后证明相似就可以了． 构造法是平面几何中一种十分重要的方法，不仅在相似形中用得着，而且在其它方面应用也非常广泛． 三、过渡法 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1、等线段过渡法 例3：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 分析：DE2＝BE·CE改成比例式为，但线段DE、BE、CE在同一直线上，构造不出相似三角形．因EF垂直平分AD，连结AE，则有DE＝AE，要证的比例式可化为．由此只需要证明△ABE∽△CAE即可． 2、等比过渡法 例4：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：． 分析：显然此题不能找出直接得到这个比例式的两个相似三角形．但由已知条件易证，这就转化为证明比例式． 只须证明△AFD∽△DFB即可． 3、等积过渡法 例5：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F． 求证：CD2＝DF·DG． 分析：CD2＝DF·DG中的线段CD、DF、DG位于同一条直线上，按常规方法难以奏效．考虑到CD是Rt△ABC斜边AB上的高，可得CD2＝AD·BD，因此可转化为证明AD·BD＝DF·DG．这可由△ADG∽△FDB证得． 四、假借法 例6：如图6，从圆外一点P作切线PA，从PA的中点B作割线BCD，连结PC、PD，分别交圆于E、F． 求证：FE∥PA． 分析：要证FE∥PA，当然会想到证明∠E=∠BPC，因为∠D=∠E，自然也可以想到证明∠D=∠BPC．问题是，怎么证明这两个角相等．从图形上不难看出∠D是△BPD的内角，∠BPC是△BCP的内角，因此，若能证明这两个三角形相似，问题就可以解决了．由切割线定理得BA2＝BC·BD，所以BP2＝BC·BD，改成比例式为，又∠PBC是公共角，所以这两个三角形确实相似．接着就不难证明FE∥PA了． 利用相似三角形证明垂直，方法与证平行差不多，我们也举一例． 例7：如图7，BD、CE分别是△ABC的高，点O是△ABC外接圆的圆心．求证：AO⊥DE． 证明：延长AO交⊙O于点F，连结CF， 则∠ACF=90°. ∵∠AEC=∠ADB=90°, ∠BAC=∠BAC, ∴△ADB∽△AEC. ∴ ∴△ADE∽△ABC. ∴∠ADE=∠ABC. ∵∠F＋∠FAC=90°，∠F=∠ABC， ∴∠ADE＋∠FAC=90°， ∴AO⊥DE. 五、分拆法 例8：如图8，P是等边三角形ABC的外接圆的上的一点．求证：PA2＝AB2＋PB·PC． 分析：由已知条件，不难得出△ADB∽△ABP，从而AB2＝PA·AD，因此要证原式成立，只需要证明PA2＝PA·AD ＋PB·PC，因为AD是PA的一部分，因此我们可以把PA分成AD和PD两部分，则PA2＝PA（AD＋PD）＝PA·AD ＋PA·PD，下面证明PA·PD＝PB·PC可以通过证明△PAC∽△PBD而得到． 六、转换法 例9：如图8，P是等边三角形ABC的外接圆的上的一点，PA交BC于点D．求证：． 分析：可以转换为，要证明这个等式，关键是要把两个比换成后项相同，而前项之和恰好等于后项．注意到△PDB∽△CDA，△PDC∽△BDA，所以，，问题就转化为证明，因为AB＝AC＝BC，上式又可以转化为，这个等式的成立是显而易见的． 运用相似三角形解题的方法是平面几何中最为有效的方法之一，其关键是寻找相似的三角形．简单的图形一眼就能看出来，稍为复杂的图形，还要将条件和结论联系起来，按照上述所列举