二项式期权定价模型.doc

第一节 二项式期权定价模型 单期二项式定价模型 该模型的目的是为了确定看涨期权在期初即t=0时刻的价值 假设股票的价格波动是单一的，即在单期中上升或者下跌都只能一次 假设股票价格的当前值是，到期日的价格为，股票上涨的概率为q，上涨因子为u(u1), 股票下跌的概率为1-q，下跌因子为d (d1),x为到期日的执行价格，无风险利率为r 那么如何确定该看涨期权在t=0时刻的价值呢？在此我们可以通过构造一个包括股票和无风险债券在内的投资组合，用它来完全复制该看涨期权的损益特征。于是，该看涨期权在期初的价值就等于该投资组合的构造成本。 s= =u s ==d （单期股价状态树及看涨期权价值图） 我们的问题是要确定该看涨期权在期初的价值，为构造如下投资组合，以无风险利率r借入一部分资金B（相当于做空无风险债券），并且在股票市场上够入N股标的股票。我们希望在该看涨期权的到期日，上述投资组合的价值特征与看涨期权完全相同。（建立等式的基础）因此，我们需要确定B和N究竟应该是多少。 设R为利率因子，R有两种计算方法，若连续计算复利则R=；若离散计算复利则R=，其中h为期初到期末的时间长度。 上述组合的成本=N-B，而在期末，该组合的价值V=N，按照要求我们希望在到期日该组合的价值与看涨期权价值完全相同，则应有 { 由此可以求出待定的需借入的资金和需购买的股票数 合成期权的构造成本等于看涨期权在期初的价值，即= N-B=[(R-d)+(u-R)]/[(u-d)R] 在此，我们将引进风险中性概率p，p是使得风险性的股票投资和看涨期权投资的期望回报率等于无风险利率的概率。p=(R-d)/(u-d)，上涨因子u利率因子R下跌因子d，因此，0p1,这样看涨期权在期初的价值的计算等价于如下过程：先按概率p计算看涨期权期末价值的期望值（即看涨期权期末价值为的概率是p，为的概率是（1-p），再按无风险利率r贴现到期初。即： P的由来：我们考虑离散场合，即R=1+r。则股票在的不同取值下所对应的百分比投资回报率为，则p满足以下方程，解得p=(R-d)/(u-d) 举例如下： 假设有一个股票看涨期权合同，到期日为1年，执行价格X=112美元，标的股票当前市场价格美元，r=8%, u=1.8 ,d=0.6 根据已知条件可以得出，若以离散复利计算，将这些参数带入，则得到N=0.57股，B=31.48美元，这就是说，只要买入0.57股标的股票，同时以8%的无风险利率借入31.48美元 P=0.4, =25.18美元 即当前该看涨期权合同的价值应为25.18美元。 二．多期二项式期权定价模型 上述的单期二项式期权定价模型过于简单，它只能用来说明期权定价的基本思路，其本身并不具有应用价值，因为在实际中，标的资产的市场价格是一个连续的随机变量，不可能只有两种状态。但是，如果我们把从定价日至到期日的时间划分为两个阶段，在每一阶段，仍然假设标的资产价格只能取两种状态，即上涨或下跌，且上涨或下跌的幅度不变，则可以证明，在第二阶段结束时，标的资产价格的可能取值将变为3个。按此思路，如果我们将定价日至到期日状态的可能取值将增加为n+1个。特别，如果让n→∞，即所划分的阶段无穷多（每个阶段所对应的长度无限小），则完全有理由用两状态的二项式模型来近似表示标的资产价格的连续变化过程。这就是说，可以用一个无穷期的二项式期权定价模型来精确逼近一个标的资产价格连续变化的期权定价模型。因此，我们只要推导出n期二项式期权定价模型，然后令n趋于无穷大，就可能得到真正具有实用价值的连续性期权定价模型。 （一） 我们先以单期二项式模型为基础，得到两期的二项式期权定价模型，然后再将其推广到n期的场合。 （二期股价状态树与看涨期权价值图） 股价在第2期末的可能状态有三种，它们分