计算行列式的方法.doc

PAGE 1 计算行列式的方法 摘要：本文主要对计算行列式的方法进行简单的总结归纳。计算行列式的方法通常有定义法、性质法、化三角形法、降阶法、升阶法、递推法、数学归纳法等十几种方法。 关键词：行列式 定义法 性质法 降阶法 递推法 正文： 1 定义法： 用符号表示的n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自以上符号中的不同行与不同列上的n个元素的乘积，即下标是1，2，……，n这n个数码的一个排列，项的符号为也就是说是偶排列时，此项的符号为正，是奇排列时，此项的符号为负。 定义法就是利用以上的行列式的定义去计算行列式。 例：计算行列式A= 解：A=1*+2*=1+8-21=-12 注：此方法适用于阶数较低的计算。 2 性质法：依据行列式的性质进行计算。 性质1：行列式与它的转置行列式相等。 性质2：交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 性质3：把一个行列式的某一行（或列）的所有元素同乘以某一个数k ，等于以k乘行列式. 性质4：一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外边。 性质5：如果一个行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式值为0。 性质6：如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么行列式值为0。 性质7：把一个行列式的某一行（列）的所有乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式值不变。 性质8：如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么行列式值为0。 性质9：设行列式D的第i行（列）的所有元素都可以表成两项的和。 例：计算行列式D= 解：将第一列的-1倍分别加到第二列、第三列上得：D= 由于行列式的第二、三列成比例，所以D=0 注：此方法通常可以使一些复杂的行列式计算变得简单，通常与其他方法连用。 3 化为三角形行列式 利用定义法可直接求出三角形行列式的结果，其主要结果有： 1）= = 2） = 注：从理论上来说，虽然可以利用行列式的性质将任意一个行列式化为三角形行列式，（数字型行列式的确可这样计算），对于文字型行列式，未必能方便的实现这一想法。 箭形行列式： 例：计算行列式 解： 注1：把第j(j=2,3,4,…..,n)列的元素乘-加到第一列上。 注2：形如的行列式也可以化为箭形行列式，再化为三角形行列式进行计算。 行（列）和相等的行列式： 例：计算下列n阶行列式： 解：= =[x+(n-1)a]=[x+(n-1)a] 注：还可以运用以下方法计算： 化为箭形行列式再求其值 用升阶法计算 运用递推法计算 3.3 相邻行（列）元素差1的行列式： 例：计算n阶行列式 解： == == = 注1：使用对角线公式时，其前有符号，为 注2：解此类型的行列式时，一般是自其第1行（列）起，前行（列）减去后行（列），使其出现大量元素为1或-1的行列式。 4 式值不变的情况下计算行列式的一种方法。 例：计算n阶行列式： 解： == = 注：1）加边的元素除1和0以外，还要根据具体情况适当选择与已知行列式有关的某些元素，以便进异步一步地变换和运算。 2）可利用升阶法计算的行列式一般应满足各行（列）含有共同元素的特点，且化简后常变成箭形行列式。 5 递推法： 例：计算n阶行列式： 解： 这里的第一个n-1阶行列式与有相同的形式，把它记作；第二 个n-1阶行列式等于。所以 这个式子对任何n都成立，因此有 =………… = 但 。所以 6 数学归纳法： 例：证明n阶行列式 （其余均为零） 证：当n=1时，，结论成立。 假设时，结论成立。那么，当n=k+1时 而由归纳法假设 于是n=k+1时，结论成立。命题得证。 7 平方法： 例：计算行列式 解： = = 则detA= 注：取“+”号是因为detA 的主对角线上可得。 8 利用范德蒙行列式结果计算： 所谓范德蒙行列式就是形如的行列式。 其计算方法为：由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以，得： = 提出每一列的公因子，得： 最后的因子是一个n-1阶的范德蒙行列式，用代替