史宁中校长- 数学思想漫谈.ppt

一、数学思想与数学文化 文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。 数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。 思想是本质的，无思想则无文化。 《数学课标》：双基→四基、两能→四能 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题 大学的数学教学\包括数学文化教育\要关注培养学生的思维方法。因为 创新：知识技能 + 思维方法。 思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。 通常认为的数学思想方法\不是数学思想\： 等量替换、数形结合、分类、递归、转换； 配方法、换元法、加强不等式。 二、数学的基本思想 数学产生与发展所依赖的思想； 学习数学以后具有的思维能力。 抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强。 推理：促进数学内部的发展；推理能力强。 模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强。 抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。 得到：数学研究的对象概念和对象之间的关系概念； 运算方法和运算之间的运算法则。 亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。 存在性假设\多边形→三角形\ 引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。 数量的第一步抽象 数量 → 数。 2匹马、2头牛 → 2。 数量的本质多与少 → 数的本质大与小 → 刻画大小的序关系 → 自然数、加法 有理数 ≡ 分数：部分与整体；线段长度之比 加法 → 四则运算；逆运算 → 数域的扩充 自然数 → 整数、有理数、实数 如何定义实数？运算？连续性？ 抽象是如何存在的：唯实论(柏拉图)，数学是发现； 唯名论(亚里士多德)，数学是发明。 抽象了的东西是存在的：抽象的存在（形而上、形而下）。 数量的第二步抽象 变量、极限运算 \如何理解、如何解释\ 导数：牛顿(1676\1666)提出，最初的解释是利用无穷小。 问题：什么样的函数可导？ → 明确函数定义 + 明确极限定义 → 符号表达 1755年，欧拉的变量说，初中。\抽象不够\ 问题 f1(x) = shi2x + cos2x 和 f2(x) = 1 表达是一个函数，还是两个函数？ 1851年，黎曼的对应说，高中。\新概念和物理背景\ 函数 → 对应 → 集合 集合：所要研究对象的全体？ \罗素悖论\ 极限运算 1821年，从柯西开始了现代数学的特征：符号化、形式化、公理化。 可以理解：当 n → ∞ 时1/n → 0； 很难理解：当 n → ∞ 时 x → 0 。 函数连续，当 x → x0 时 f(x) → f(x0) ？ 1. 任何数列 xn → x0 ，都有f(xn) → f(x0)。 2. 任意ε﹥0，存在δ ﹥0，当 ︱x - x0︱﹤ δ 时︱f(x) → f(x0)︱﹤ ε 则称 f(x) 在 x0 处连续。 两种收敛等价？实数可以连续不断地趋近某一个数？ 清晰定义实数 → 清晰定义无理数 → 重新定义有理数 有理数：分数形式 → 小数形式（有限+无限循环) 无理数：无限不循环小数\如何判断(百,千)\ 实数 ≡ 有理数 + 无理数 如何计算： √2·√3 =√2·3 ？用小数验证？ √-2·√-3 = √(-2)· (-3)？ 如何理解：连续 ≡ 实数与数轴一一对应？ 1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。 \解决实数的运算\ 假定有理数列 an → √a, bn → √b 。 根据极限的性质有 an2