不定积分分部积分法教案资料.doc

第四章 不定积分（§3分部积分法） PAGE PAGE 2 分部积分法 教学内容：分部积分法 教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取，熟练掌握分部积分法的步骤。 教学重点：分部积分法及其应用 教学难点：在分部积分法中，恰当选取。 教学学时：1学时 教学进程： 我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式不定积分公式；复合函数的求导公式换元积分公式；乘积求导公式分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。 1引入 用我们已经掌握的方法求不定积分 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。 ③第二类换元积分法 解：不妨设 原方程更为复杂 所以凑微法和第二换元积分法都失效。 反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设为两个具有连续导数的函数） 已知： 对上式两边积分得： 移项得： 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：中为导数形式。 故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。 2 公式 设函数和都具有连续的导数，则有分部积分公式： （或） 3 例题讲解 例1．计算不定积分． 解 设 ，，则，（*）， 于是 ． 注意： （1）（*）处没有加，这是因为我们取了最简单的情况。 （2）若设,，则 ， 积分比积分要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择非常关键，一般要考虑下列两点： （1）要易求； （2）积分要比积分易计算． 练习：求 例2．计算不定积分 分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作即可。 解：设，，则，， 于是 注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。 例3．计算不定积分。 解 设；则, 于是 练习：求。 例 4. 计算不定积分． 解 设 ，，则，， 于是 注意： 如果要两次分部积分，选取要一致，否则会还原． 例5．计算不定积分． 解： 好像进入了死胡同，实则不然，令,则上式变为： 练习：求。 从这几个典型例题可以看到，一般情况下， 可按下列规律选择： （1）形如，（其中为正整数）的不定积分，令，余下的凑成。 （2）形如，，时，令，余下的凑成。 （3）形如 的不定积分，可以任意选择与，但由于要使用两次分部积分公式，两次选择与应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分。 说明 （1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取及，使更加便于积分． （2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法． 例6．求的递推公式，其中为正整数，并求出。 解： 因此可得的递推公式为 其中，那么有 例7．计算不定积分． 解 4小结 1、分部积分公式 2、在分部积分的公式中，的选取。 3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。 作业：习题4－3（）1、4、5、7、8、9、10