加权平均值及中误差.doc

加权平均值及中误差 在测量实践中，除了同精度观测外，还有不等精度观测。如果对某观测值得观测值在不同的观测条件下进行的，即对其进行了n次不等精度观测，在这种情况下，由于观测条件不同，求观测值的最或然值就不能简单地用算术平均值来求解，而是采用另一种方法即加权平均值方法求解。 (一)权和单位权 所谓“权”，就是不同精度观测值在计算未知量的最或然值时所占的“比重”。一般观测值误差愈小，精度愈高，说明其值愈可靠，权就愈大，因此，权定义：观测值或观测值函数的权（通常以P表示）与中误差m的平方成反比。设不等精度观测值的中误差分别为，则权的可定义为： 4—39 式中C——任意常数； n 若令第一次观测值的权作为标准，并令其为1，即取，则 4—40 等于1的权称为单位权，权等于1的对应的观测值中误差称为单位权中误差。一般用表示，习惯上取一次观测、一个测回、一公里线路等的测量误差为单位权中误差。这样（4-40）式另一表示方式为： 4—41 由上式得到观测值或观测值函数的中误差的另一种表示方式为 　　　　　　　　　　 4—42 由式（4-39）和（4-40）可知，权具有如下性质： 　 ① 权与中误差同为衡量观测精度的指标，中误差表示观测值的绝对精度；权是一个相对性数值，表示观测值之间的相对精度关系，对单一观测值而言，权无意义; 　 ② 权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值精度越高; 　 ③ 权始终取正号; 　 ④ 权的大小与常数C的选值不同而不同，但观测值间权的比例关系不变，同一个研究问题只能选取一个C。 (二)测量中常用的定权方法 算术平均值的权 由（4--37）和 (4--41) 式知，n个等精度观测值算术平均值的中误差 ,当μ=m 时有： 4--43 即当取一次观测值权为１时，n个观测值算术平均值的权为n。 水准测量中定权 设－站观测高差精度相同，其中误差为m站，则站数为Ni的某条水准路线的观测高差中误差为 (I=1,2,…,n) 若取C站的高差中误差为单位权中误差，即，依（4-41）式，某水准路线的权为 4--44 同理，若取C（Km）路线高差中误差为单位权中误差，则长度为Li的某水准路线的权为 4--45 因此，在水准测量中，若每一站高差观测精度相同，则各水准路线观测高差的权与路线测站数或路线长度成反比。 距离丈量时定权 设1Km距离的丈量中误差为m，则sKm距离的丈量中误差为，若取cKm的中误差为单位权中误差，则丈量sKm的权为 4--46 因此，在距离丈量中距离观测值的权与距离长度成反比。 角度观测时定权 与算术平均值的权同理，当令一测回观测的角度中误差为单位权中误差时，观测n个测回的角度观测值的权为n。同理，不同测回数的角度观测值，其权之比为测回数之比。 （三）加权平均值及其中误差 若对某一量进行n次不等精度观测，现采用加权平均的方法，求解观测值的最或然值。设观测值为；中误差为；权为 设，其加权平均值为 4—47 由误差传播定律有 = 4—48 又因，代入上式，化简得 又因 ,则 所以加权平均值的权等于各观测值的权之和。 加权平均值中误差为： 　 4—49 同样，(4-47)式知，不等精度观测值的改正值还满足下列条件： 　 4—50 当观测值真值未知，按不等精度观测值改正数计算单位权中误差，可类似用观测值改正数求观测值中误差公式： 4—51 式中:V—观测值改正数。 计算出单位权中误差后，如果某一观测值的权已知，可由（4-42）计算该观测值或观测值函数中误差。 例7: 对某一角度，用同样仪器，分别进行了三组观测：第一组2个测回，第二组4个测回，第三组6个测回，得到各组角度观测值平均值分别为：60°12′13″,60°12′15″和60°12′17″。设以2测回平均值观测值