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3.4 卷积定理和相关定理 卷积定理 相关定理（6.6、6.7节） Review 作业: 3-34 信号与系统—signals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 一、卷积定理 证明： ? 1．时域卷积定理 时移特性 2．频域卷积定理 证明: ?-1 频移特性 3．利用频域卷积定理求傅立叶变换 的傅立叶变换 [例1]： ? ? 解：? 4．利用时域卷积定理求傅立叶变换 [例2]：① 求 图及频谱 解： -1 1 2 2G2(t) t+2 -1 t-2 1 -2 2 1 G4(t) 解： [例2]：② 求 图及频谱 2 -2 2 0 二、相关定理 ii)能量信号 ，例 ②功率与功率信号 ii) 功率信号 ，例 ③既非功率又非能量：例如 i) 能量 i)功率 1．能量信号与功率信号 ①能量与能量信号 ①相关系数：表征两个信号 与 的相似程度 2．相关系数与相关函数：比较两个信号波 形是否相似，给出相似程度的统一描述 i) 用 逼近 (设 为能量有限信号) 能量误差： 参见P343图 ii)定义： iii) iv) 正交 相对能量误差 柯西-施瓦茨不等式 相关系数 ②相关函数(研究两信号时移过程中的相关性) i) 雷达 目标1 目标2 无时差时相关系数： 有时差时相关系数： iii) 性质： iv) 若 定义自相关函数： 性质： ii)定义互相关函数： f1(t),f2(t)是能量有限信号且为实信号 ③实功率信号的相关函数： ④复能量信号的相关函数： ⑤复功率信号的相关函数： 3．相关与卷积关系 ②相关 ③ ①卷积 [例3]：已知 求① ② -1 1 2 2 0 解：①卷积： -1 1 2 t 0 -2+t ②相关： -1 1 2 t+2 0 t 差别： 卷积运算须反褶， 相关运算无须反褶 [例4]：求下列信号的自相关函数 ① 解： ① 能量信号 [例4]：求下列信号的自相关函数 ② 解： ②功率信号 [例4]：求下列信号的自相关函数 ③ 解： ③功率信号 4．相关定理 傅立叶变换性质之一 其中 ① 证明： ? 同样有 ②实 证明： 故： ③ R(t) ，其中 证明：? 5．能量谱（针对能量信号） ② ? ① ④能量守恒：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量，即信号经傅立叶变换后其总能量保持不变 ⑤称 为能量谱(密度)， 反映信号的能量在频域的分布情况，表示单位带宽的能量 ③ 6．功率谱（针对功率信号） 截尾函数