数学课件 偶函数课件.ppt

* * 课题 前面我们已经研究了函数的单调性 它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质 数学科组 陈郁斯 已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1), f(-2) , f(2), 及f(-x) ,并画出它的图象。 解 f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-x)=(-x)2=x2 x y o ( x,y) (-x,y) (-x,y) f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-x)=f(x) 思考：当函数的自变量取一对相反数时， 它们相应的函数值有何特点？ 相应的函数值相等 (x,y) x -x 1.偶函数的定义 如果对于函数y=f（x）的定义域内的任意一个实数x，都有f（-x）=f（x），那么函数y=f（x）就叫做偶函数 对偶函数的定义的说明： （1）函数y=f（x）是偶函数的前提条件是定义域关于原 点对称 （2）f（-x）=f（x） 例1. 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）=2x2-1 （2）f（x）=x2+x 解 （1）定义域是R， ∵f（-x）=2（-x）2-1 小结：用定义判断函数是不是偶函数的步骤: ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断f(-x)=f(x) 是否恒成立。 = 2x2-1， ∴ f（x）=2x2-1是偶函数 =f(x) ∴f（x）=x2+x不是偶函数 即f（-x）≠f（x） ≠ x2+x （2）定义域是R， ∵f（-x）=（-x）2+（-x） = x2-x （3） f（x）=x2-1（x≥0）（4）f（x）=-x2 （3）∵ f（x）的定义域 不关于原点对称 ∴ f（x）=x2-1 （x≥0） 不是偶函数 （4）定义域是R ∵f（-x）=-（-x）2 =-x2 = f（x） ∴ f（x）=-x2是偶函数 练习2 判断下列函数是不是偶函数 (1) f(x)=x2-2x4 (2) f(x)=x2 ,x∈[-1,3] (3) f(x)=3 解 （1）定义域是R ∵f(-x)=(-x)2-2(-x)4 =x2-2x4 =f(x) ∴f(x)=x2-2x4是偶函数 (2)∵ [-1,3] 不关于原点对称 ∴ f（x）=x2 , x∈[-1,3] 不是偶函数 (3) f(x)的定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=3 ∴f(x)为偶函数 x y 0 3 练习1。下列区间关于原点对称的是（ ） （A）（-∞，+ ∞）（B） [-3，2] （C）（0， + ∞） （D） [-4，4] （E） [-5，5） A c 2.偶函数图象和性质: 偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数. 注：偶函数图象的性质可用于： ①判断函数的奇偶性； ②简化函数图象的画法。 (x,y) (-x,y) 3 y=x2 y=3 x x 0 0 y y 例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。 x x y 0 解： *