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概率与概率分布作业 1、一家电器店想研究顾客对DVD机的购买意愿与他们购买的TV机种类的关系。下表为对随机选择的100个顾客进行调查的记录（单位：人） TV ???DVD机 普通 ( B1 ) 平板 ( B2 ) 高清 ( B3 ) 合计 ????买 ( A1 ) 5 25 30 60 ????不买 ( A2 ) 20 10 10 40 ??合计 25 35 40 100 根据表中记录，求随机一位顾客的以下概率： 没有购买高清TV的概率 考点：事件的逆事件 解： 同时购买平板TV和DVD机的概率 考点：事件的交或积 解： 购买平板TV或DVD机的概率 考点：事件的并或和；概率的加法法则 解： 已经购买了高清TV，还会购买DVD机的概率 考点：条件概率 解： 顾客对DVD机的购买意愿与他们购买的TV机种类有统计学上的关系吗？（或者说，顾客购买的TV机种类影响购买DVD机的概率吗？） 考点：事件的独立性 解：以高清TV为例，， ，同理，， 所以，顾客对DVD机的购买意愿与他们购买的TV机种类不是独立的。（或者说，顾客购买的TV机种类影响购买DVD机的概率。） 【注】一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立。此时概率的乘法公式可简化为P(AB)=P(A)·P(B)。反过来，也可以用该公式验证两事件是否独立。 另一份调查指出，买DVD机的男性比率比不买DVD机的男性比率多一倍。如果随机选择的第101位顾客是一位男性，他会买DVD机的概率是多少？ 考点：贝叶斯公式 解：设C表示“顾客为男性”，已知P(A1)=0.6, P(A2)=0.4 据题意， A1和A2为一个完备事件组且均大于0，所以根据贝叶斯公式有： 2. 解:设被保险人死亡数＝X，X～B(20000，0.0005)。 （1）收入＝20000×50（元）＝100万元。要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为：P(X ≤10)＝0.58304。 （2）当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。所求概率为： P(X20)＝1－P(X≤20)＝1－0.99842＝0.00158 （3）支付保险金额的均值＝50000×E(X) ＝50000×20000×0.0005（元）＝50（万元） 支付保险金额的标准差＝50000×σ(X) ＝50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2＝158074（元） 解: （1）可以。当n很大而p很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中，λ= np=20000×0.0005=10，即有X～P(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。 （2）也可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。 本例中，np=20000×0.0005=10，np(1-p)=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995， 即有X ～N(10,9.995)。相应的概率为： P(X ≤10.5)＝0.51995，P(X≤20.5)＝0.853262。 可见误差比较大（这是由于P太小，二项分布偏斜太严重）。 【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正”。 （3）由于p＝0.0005，假如n=5000，则np＝2.55，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。 某年高考考分近似服从正态分布。高考平均分为500，标准差100。假设只要过了录取分数线都会录取，否则不能录取。 若湛江师范学院的录取分数线为550，录取率是多少？ 解：μ=500，σ=100，高考分数X～N(500，1002) 既录取率为30.85% 若湛江师范学院打算设录取率为45%，你考了489分，你能被录取吗？ 解：方法一：μ=500，σ=100，X～N(500，1002) 所以你不能被录取 方法二：录取分数线为X 所以你不能被录取 若当年湛江有1万人参加高考，高考分在400至600之间的有多少人？ 解：μ=500，σ=100，X～N(500，1002)