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各种类型的微分方程及其相应解法
专业班级:交土01班 姓名:高云 学号:1201110102
微分方程的类型有很多种,解题时先判断微分方程是哪种类型,可以帮助我们更快解题,所以我们有必要归纳整理一下各类型(主要是一阶和二阶)的微分方程及其相应解法。
一、一阶微分方程的解法
1.可分离变量的方程
,或
其特点是可以把变量x和y只分别在等式的两边,解法关键是把变量分离后两边积分。
例1.求微分方程的通解.
解 先合并及的各项,得
设分离变量得
两端积分得
于是 记则得到题设方程的通解
2.齐次方程
(1)
(2) (a,b均不等于0)
例2求解微分方程
解 原方程变形为
令则方程化为
分离变量得
两边积分得
整理得
所求微分方程的解为
3.一阶线性微分方程
例3. , ;
解 将方程改写为 ,
这里,,故由求解公式得
.
由初值条件,得.
所以初值问题的解为
例4.设非负函数具有一阶导数,且满足,求函数.
解:设,则,两边对求导,得
,由已知
又 ,则
例5.设,其中满足下列条件:
,,且,.
= 1 \* GB3 ① 求满足的一阶方程; = 2 \* GB3 ② 求的表达式.
解:(1) 由
,
可见,所满足的一阶微分方程为
.
(2) 由通解公式有
.
将代入上式,得.于是
4.伯努利方程
二、二阶线性微分方程的解法
1.可降阶微分方程
(2)
(3)
例6. 方程的通解为 .
解:
令,原方程变为
所以
3.二阶常系数齐次线性方程
例7. 解方程.
解:的特征方程为
则方程的通解为
例8.设 其中为连续函数,求.
解:原方程整理得 ,
两边求导 ,
再两边求导得 ,
整理得 (初始条件到原方程中找)
解得
有关微分方程的题目有很多,不可能一一列举出来,但我们可以举一反三,开拓思维,这样我们的高数才会得以提高。
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