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“点到直线的距离”教学案例及反思 民勤职专 李荣仁 一、教学目标 (一)教学知识点 　　1.点到直线距离公式。　　2.两平行线间距离。　　(二)能力训练要求　　1.理解点到直线距离公式的推导。　　2.熟练掌握点到直线的距离公式。　　3.会用点到直线距离公式求解两平行线间距离。　　(三)德育渗透目标　　1.认识事物之间在一定条件下的转化。　　2.用联系的观点看问题。　　二、教学重点　　点到直线的距离公式。　　三、教学难点　　点到直线距离公式的推导思想与应用。　　四、教学方法(学导式)　　在引入本节的研究问题，点到直线的距离公式之后，引导学生积极思考，动手演练，分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较，选择其中一种较好的方案来具体实施，同时利用多媒体现代化手段增大教学容量和直观性，以培养学生分析问题进而解决问题的能力。　　在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生要与点到直线的距离产生联系，从而运用点到直线的距离公式求解。　　五、 教学过程??? (一)课题导入　　[师]前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件、两直线的夹角公式、两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法。　　这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。　　(二) 讲授新课　　1.提出问题　　在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢？　　[师]下面，我们一起分析这一问题的解决方案。首先看图1某校（点A）要从网络干线(直线)引进一条支线通进本校，在干线上选择哪一点最好？　　[生]过A作AP⊥于P，则P是最佳选择。???????????????????????　　[师]生活中类似问题很多，“垂线段最短”，就是求点到直线的距离，初中是用的几何办法，今天我们在解析几何中选用什么办法呢？??? [生]代数办法解决几何问题。???????????????????????????????????????? [师]先看一个简单问题，图，点P（1，3）到直线的距离是???????? ，到直线的距离是?????????? 师生反思：对一般问题呢？从特殊到一般是数学研究的普遍策略，我们看任一点P（x0，y0）到直线x=a的距离是?????? ， 到直线y=b的距离是?????????? 。????????????????????????????????? （图2）　　[生]点P（x0，y0）到直线x=a的距离是|x0—a|，到直线y=b的距离是|y0—b|。　　[师]别忘记绝对值符号，距离是个非负数！数形结合的话距离就是“横线段、纵线段”。（老师演示）　　[师]现在我们看更一般的问题，即：点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离是什么呢？这比以前两个问题更富有挑战性，大家思考怎么办？　　[生]过P作垂直于的直线，求出该直线与的交点Q的坐标，再求出PQ的长。　　[师]此方法虽然思路自然、易想，但是大家看，方程全部是字母，求这点的坐标必然运算繁琐，更何况还要求PQ的长！我们应探讨出另一种方法来，巧妙转化难点。　　[生]先求出MP、NP的长，在RtΔPMN中，作斜边上的高PQ，利用等面积法求得PQ的长即可。看图（教师演示）　　[师]：M、N点的横、纵坐标分别为????????? ，那么MP=????????? ，NP=???????? 。??? [生]：，????????????????????????????????MP= NP=，则于是得点P(x0，y0)到直线的距离公式　　师生反思：可以证明当A=0或B=0时，以上公式仍适用，于是我们得到平面内任一点到任一条直线的距离公式！大家看一下它的结构特征分子是什么？分母是什么？这就要求我们应用公式时，必须先将方程化成一般式！这个公式体现着和谐美、对称美。但是如果直线是平行于x轴或y轴的直线时，我们一般是不用公式更简单！（为什么呢？）　　[师]同学们我们以上给出了两种推导方法，第一种解析法易想不易算不可行，第二种等面积法看似麻烦却简单易算易行！这就启示我们对于数学问题必须勤动手，切不可仅仅停留在想想而已！下面大家讨论一下这个公式还有别的证明方法吗？[生]我们小组认为根据“垂线段最短”在直线上任取一点R（ ），则|PR| 的长度最小值就是点到直线的距离，即|PR|=但是运算也比较繁！还得化简，再配方才可以！　　[师]的确这位同学思路新颖，用函数最小值的思想求距离，能够想到应用我们所学的知识来证明，这样非常好！给予鼓励！大家有兴趣课下继续把后面的证明完成！同学们对于这个公式的推导我们还可以