专题十-与几何图形有关的探究题.docVIP

专题十　与几何图形有关的探究题 　　　　 　　　　　 　　　　　 图形变化问题 【例1】　(2016·沈阳)在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE. (1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F. ①求证：△ABD是等边三角形； ②求证：BF⊥AD，AF＝DF； ③请直接写出BE的长； (2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值． 分析：(1)①由旋转性质知AB＝AD，∠BAD＝60°即可得证；②由BA＝BD，EA＝ED根据垂直平分线的性质即可得证；③分别求出BF，EF的长即可得答案；(2)由等量代换可证∠BAE＝∠BAC，根据三线合一可得CE⊥AB，从而可得CE＝2CH＝8，BE＝5，即可得答案． 解：(1)①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形 ②由①得△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的垂直平分线上，∴BE是AD的垂直平分线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF ③由②知BF⊥AD，AF＝DF，∴AF＝DF＝3，∵AE＝AC＝5，∴EF＝4，∵在等边三角形ABD中，BF＝AB·sin∠BAF＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，∴BE＝BF－EF＝3eq \r(3)－4 (2)如图，∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180°，又∵∠DAG＋∠DAE＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝eq \f(1,2)CE，∵AC＝BC，∴AH＝BH＝eq \f(1,2)AB＝3，则CE＝2CH＝8，BE＝AE＝5，∴BE＋CE＝13 几何图形中的动点问题 【例2】(2016·达州)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF. (1)观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为__垂直__；②BC，CD，CF之间的数量关系为__BC＝CD＋CF__； (2)数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2eq \r(2)，CD＝eq \f(1,4)BC，请求出GE的长． 分析：(2)根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；(3)过A作AH⊥BC于点H，过E作EM⊥BD于点M，EN⊥CF于点N，先求出AH，DH，证△ADH≌△DEM(AAS)得到EM＝DH，DM＝AH，由等量代换得到CN＝EM，EN＝CM，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝BC＝4，根据勾股定理即可得到结论． 解：(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC.证明：∵正方形ADEF，∴AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，可证△DAB≌△FAC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝135°－45°＝90°，∴CF⊥BC.∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC (3)过A作AH⊥BC于点H，过E作EM⊥BD于点M，EN⊥CF于点N，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝eq \r(2)AB＝4，AH＝eq \f(1,2)BC＝2，∴CD＝eq \f(1,4)BC＝1，CH＝eq \f(1,2)BC＝2，∴DH＝3，由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，可证△ADH≌△DEM(AAS)，∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN