最短距离问题将军饮马.docVIP

第一讲 转化思想 线段和、差 “牧童放牛”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”，在最近几年的中招试题及竞赛中，该问题经过不同的转化及演变，一 一浮现在我们的眼前，使我们目不暇接，顾此失彼。因此，我们有必要作一下总结，找出其中的规律，以做到屡战屡胜的效果。 原题：如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？ ? ?A ?B 延伸一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1= （1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？ （2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？ ? ? A ? B ? B ? A ? A’ ? B’ ? A’ ? B’ L L 延伸二：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值是多少？ ABC A B C D M N 延伸三：如图，A是半圆上一个三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点， ⊙O的半径为1，求AP+BP的最小值。 A A B M N O P 延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=600，E为AB的中点，F是AC 上一动点，则EF+BF的最小值是多少？ ??AB ? ? A B C D E F 延伸五：在直角坐标系XOY中x轴上的动点M（x,0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=? x x y o M P Q 例，如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，求证EF＝ （AB－CD） 二、面积问题 例，如图， 中，BC＝4， ，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时， ⊿APD 面积最大？ 三、中考题 如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，…， BCAE1E2E3D4D1D2D3如此继续，可以依次得到点，…，，分别记…，的面积为 B C A E1 E2 E3 D4 D1 D2 D3 .如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB与点D，连接DC.过点D作DE⊥DC交OA与点E. 求过点E,D,C的抛物线的解析式. 将∠DEC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G..如果DF与第（1）题中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为6/5，那么EF=2GO是否成立？请说明理由. ③ 对于第（2）题中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C，G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. y y x A B E D C O 如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）； （2） 如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G （1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由 （2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？ 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； ABCD A B C D E P O R 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)在直线上是否存在一点，使∽， 若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．