多变量经济模型.doc

数理经济学　——　第八章 再谈多变量模型 第八章　再谈多变量模型 经济学是一门关于选择的科学，要实现一个特定的经济目标，譬如要实现一个特定水平的产出，通常有许多可供选择的方式。但在这诸多选择中，按照某一标准，会有一种方式比其他方式更好，根据所规定的标准，选择适宜的方式，这就是最优化问题的实质。在经济学中最常见的选择标准是最大目标（如厂商利润最大化、消费者效用最大化、厂商或一国增长率最大化等）或最小化目标（如在给定产出下使成本最低等）。在经济学中，这类最大化问题和最小化问题统归为最优化问题。在数学中，求最优化的问题就归为求极值的问题。 在前面的讨论中，最优化问题一直限制在目标函数具有单一选择变量或至多两个选择变量的框架内。在上一章，我们将目标函数的形式进行了拓展，研究了指数目标函数和对数目标函数。现在我们继续扩展思路，研究具有多选择变量的目标函数的极值问题。 第一节　多变量极值的条件讨论 当目标函数出现个选择变量时，尽管我们仍可以谈及(n+1)为空间中的超平面，但不可能绘出函数的图形。在这种不能图形化的超平面中，仍可能存在(n+1)维的类似的峰顶和谷底。我们如何认识他们呢？ 极值的一阶条件 我们具体考察一个具有三个选择变量的函数： 其一阶偏导数和二阶导数，。利用杨氏定理，我们有。 我们前面的讨论表明，要得到的极大值或极小值，必须是对于不同时为零的任意值，。因为得知现在为： 且因为是不同时为零的任意（无穷小）变化的自变量，所以确保的唯一方法是。因此，同两变量情形一样，极值的必要条件仍是所有一阶偏导数均为零。 二阶条件 假设在点及其邻域内有连续的一、二阶偏导数，由泰勒公式可以得到： 由于在点满足一阶条件，一阶偏导数都为零，则 = 这个括号里的表达式是三个变量、、的二次型 如果，即对任意邻近的组合，它所对应的函数值发都小于所对应的函数值，因此必为极大值。 把上述二次型进行改写： 利用行列式，还可以进一步改写为 显然，上式是带有系数的三个平方和。如果这些系数全部为负，则必定为负。因此，如果有 则为负值。 类似的，如果为正，则必为极小值。即如果有 则为正值。 这里应该看到，我们推导出来的二阶条件为充分条件而非必要条件。因为三个数的和为负并不一定要求每一个都为负；同样三个数的和为正也不要求每一个数都为正。 求微分可以得到的表达式。在微分过程中，我们应将导数作为变量，将微分作为常量对待。因此，我们有： 在确定是正定或负定时，把视为可取任意值但不同时为零的变量，而把导数看作施加某些限制的系数。系数产生的海塞行列式 其逐次主子式可表示为 因此，根据上面讨论的正定和负定的行列式判断标准，我们可将的极值的二阶充分条件表述如下： 如果 为极大值： 为极小值： n-变量的情况 当存在个变量时，目标函数可以表示为 全微分则为 所以极值的必要条件(对任意)意味着务要求所有的一阶偏导数等于零。 二阶微分还是一个二次形，其推导过程类似于(11.18)，并可以用一个阵列来表示。适当重排该矩阵的系数，可得到对称海塞行列式； 其主子式的定义如前。同以前一样，极值的二阶充分条件是：对于的极小值，所有个主子式为正；对于的极大值，第一个主子式为负，其他主子式符号交替改变。 总而言之，若我们集中于行列式检验，则我们把检验标准列于表中，对于有任意选择变量的目标函数，这些标准均是有效的。在特殊情况下，我们可能有或。当时，目标行数为，最大化条件，可简化为，，类似的，当时，目标函数为，因而极大值的一阶条件为，而二阶条件变为 和 表８.１ 相对极值的行列式检验： 条 件 极大值 极小值 一阶必要条件 二阶充分条件 第二节　经济应用 在上一节中，我们集中讨论了多变量求极值的方法以及推导过程。在前几章的求极值的讨论中，我们也是侧重于研究其数学计算的方法。有了适当的数学方法，我们就得到了解决现实问题的钥匙。下面，我们把目光转向具体的经济活动中来，总体地看一下这种方法在不同的经济条件下的运用。 １．多产品厂商问题 例1 完全竞争条件下的两产品厂商： 因为是完全竞争市场，所以两商品的价格必然是外生的，在这里分别以和表示。 据此，厂商的收益函数为 其中表示单位时间内产品的产出水平。 假设厂商的成本函数为 注意 （第一个产品的边际成本）不仅是的函数，而且是的函数。 类似的，第二个产品的边际成本也与，都有关系。因此，在给定的成本函数中，这两个商品在生产上存在技术的相关性。 现在可将