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利用零点分段法解含多绝对值不等式
对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题,不少同学感到无从下手,下面介绍一种通法——零点分段讨论法.
一、步骤
通常分三步:
⑴找到使多个绝对值等于零的点.
⑵分区间讨论,去掉绝对值而解不等式.一般地n个零点把数轴分为n+1 段进行讨论.
⑶将分段求得解集,再求它们的并集.
二、例题选讲
例1 求不等式|x+2|+|x-1|>3的解集.
分析:据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间,再分别讨论而去掉绝对值.从而转化为不含绝对值的不等式.
解:∵ |x+2|=,|x-1|=.
故可把全体实数x分为三个部分:①x<-2,②-2≤x<1,③x≥1.
所以原不等式等价于下面三个不等式组:
(Ⅰ) ,或(Ⅱ) ,或(Ⅲ) .
不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x<-2},
不等式组(Ⅱ)的解集是,
不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x>1}.
综上可知原不等式的解集是{x|x<-2或x>1}.
例2 解不等式|x-1|+|2-x|>3-x.
解:由于实数1,2将数轴分成(-∞,1],(1,2],(2,+∞)三部分,故分三个区间来讨论.
⑴ 当x≤1时,原不等式可化为-(x-1)-(x-2)>x+3,即x<0.故不等式的解集是{x|x<0}.
⑵ 当1<x≤2时,原不等式可化为(x-1)-(x-2)>x+3,即x<-2.故不等式的解集是.
⑶ 当x>2时,原不等式可化为(x-1)+(x-2)>x+3,即x>6.故不等式的解集是{x|x>6}.
综上可知,原不等式的解集是{x|x<0或x>6}.
例3 已知关于x的不等式|x-5|+|x-3|<a的解集是非空集合,求a的取值范围.
解:∵ x=5时,|x-5|=0;x=3时,|x-3|=0.
⑴当x≤3时,原不等式可化为-x+5-x+3<a,即a>8-2x,由x≤3,所以-2x≥-6,故a>2.
⑵当3<x≤5时,原不等式可化为-x+5+x-3<a,即a>2.
⑶当x>5时,原不等式可化为x-5+x-3<a,即a>2x-8>10-8=2,故a>2.
综上知a>2.
无理不等式与绝对值不等式
●考试目标 主词填空
1.含有绝对值的不等式
①|f(x)|a(a0),去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是-af(x)a.
②|f(x)|a(a0),去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是f(x)a或f(x)-a.
③|f(x)||g(x)| f2(x)g2(x).
2.无理不等式
对于无理不等式的求解,通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类:
①
②.
3.含有多个绝对值符号的不等式,通常是“分段讨论”,去掉绝对值符号.
4.某些无理不等式和绝对值不等式,可用“换元法”或图像法求解.
5.三角不等式
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,此不等式可推广如下:
|a1+a2+a3+…+an|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|当且仅当a1,a2,a3,…an符号相同时取等号.
●题型示例 点津归纳
【例1】 解无理不等式.
(1)2;
(2) 2x-4;
(3) 2x+1.
【解前点津】 (1)因20,故原不等式可化为不等式组:.
(2)因右边2x符号不定,故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似,也须讨论.
【规范解答】 (1)化原不等式为:.
(2)化原不等式为:
.
(3)化原不等式为两个不等式组:
.
【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组,基本思路是分类讨论,要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式,一般情况下读者不要去研究它,避免消耗太多精力.
【例2】 解下列含有绝对值的不等式:
(1)|x2-4|≤x+2;
(2)|x+1||2x-1|;
(3)|x-1|+|2x+1|4.
【解前点津】 (1)可直接去掉绝对值符号,转化为-(x+2)≤x2-4≤(x+2);(2)两边平方,去掉绝对值符号;(3)当x=1,-时,有x-1=0及2x+1=0,故可分段讨论,去掉绝对值符号.
【规范解答】 (1)原不等式可化为:
-(x+2)≤x2-4≤x+2.
故原不等式的解集为[1,3]∪{-2}.
(2)化原不等式为|x+1|2|2x-1|2 (2x-1)2-(x+1)20.
(2x-1+x+1)·(2x-1-x-1)03x·(x-2)00x2.
(3)令x-1=0得x=1,令2x+1=0得x=-.
当x∈时,原不等式可化为:-(x-1)-(2x+1)4.
当x∈时,原不等式可化为:-(x-1)+(2x+1)4.
由x≤1.
当x∈(1,+∞)时,原不等式可化为:(x-1)+(2x+1)4,故由.
综上所述知:为原不等式解集
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