利用零点分段法解含多绝对值不等式资料.docVIP

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! PAGE 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 9 页 利用零点分段法解含多绝对值不等式 对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题,不少同学感到无从下手,下面介绍一种通法——零点分段讨论法. 一、步骤 通常分三步: ⑴找到使多个绝对值等于零的点. ⑵分区间讨论,去掉绝对值而解不等式.一般地n个零点把数轴分为n+1 段进行讨论. ⑶将分段求得解集,再求它们的并集. 二、例题选讲 例1 求不等式|x+2|+|x-1|>3的解集. 分析:据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间,再分别讨论而去掉绝对值.从而转化为不含绝对值的不等式. 解:∵ |x+2|=,|x-1|=. 故可把全体实数x分为三个部分:①x<-2,②-2≤x<1,③x≥1. 所以原不等式等价于下面三个不等式组: (Ⅰ) ,或(Ⅱ) ,或(Ⅲ) . 不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x<-2}, 不等式组(Ⅱ)的解集是, 不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x>1}. 综上可知原不等式的解集是{x|x<-2或x>1}. 例2 解不等式|x-1|+|2-x|>3-x. 解:由于实数1,2将数轴分成(-∞,1],(1,2],(2,+∞)三部分,故分三个区间来讨论. ⑴ 当x≤1时,原不等式可化为-(x-1)-(x-2)>x+3,即x<0.故不等式的解集是{x|x<0}. ⑵ 当1<x≤2时,原不等式可化为(x-1)-(x-2)>x+3,即x<-2.故不等式的解集是. ⑶ 当x>2时,原不等式可化为(x-1)+(x-2)>x+3,即x>6.故不等式的解集是{x|x>6}. 综上可知,原不等式的解集是{x|x<0或x>6}. 例3 已知关于x的不等式|x-5|+|x-3|<a的解集是非空集合,求a的取值范围. 解:∵ x=5时,|x-5|=0;x=3时,|x-3|=0. ⑴当x≤3时,原不等式可化为-x+5-x+3<a,即a>8-2x,由x≤3,所以-2x≥-6,故a>2. ⑵当3<x≤5时,原不等式可化为-x+5+x-3<a,即a>2. ⑶当x>5时,原不等式可化为x-5+x-3<a,即a>2x-8>10-8=2,故a>2. 综上知a>2. 无理不等式与绝对值不等式 ●考试目标 主词填空 1.含有绝对值的不等式 ①|f(x)|a(a0),去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是-af(x)a. ②|f(x)|a(a0),去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是f(x)a或f(x)-a. ③|f(x)||g(x)| f2(x)g2(x). 2.无理不等式 对于无理不等式的求解,通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类: ① ②. 3.含有多个绝对值符号的不等式,通常是“分段讨论”,去掉绝对值符号. 4.某些无理不等式和绝对值不等式,可用“换元法”或图像法求解. 5.三角不等式 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,此不等式可推广如下: |a1+a2+a3+…+an|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|当且仅当a1,a2,a3,…an符号相同时取等号. ●题型示例 点津归纳 【例1】 解无理不等式. (1)2; (2) 2x-4; (3) 2x+1. 【解前点津】 (1)因20,故原不等式可化为不等式组:. (2)因右边2x符号不定,故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似,也须讨论. 【规范解答】 (1)化原不等式为:. (2)化原不等式为: . (3)化原不等式为两个不等式组: . 【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组,基本思路是分类讨论,要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式,一般情况下读者不要去研究它,避免消耗太多精力. 【例2】 解下列含有绝对值的不等式: (1)|x2-4|≤x+2; (2)|x+1||2x-1|; (3)|x-1|+|2x+1|4. 【解前点津】 (1)可直接去掉绝对值符号,转化为-(x+2)≤x2-4≤(x+2);(2)两边平方,去掉绝对值符号;(3)当x=1,-时,有x-1=0及2x+1=0,故可分段讨论,去掉绝对值符号. 【规范解答】 (1)原不等式可化为: -(x+2)≤x2-4≤x+2. 故原不等式的解集为[1,3]∪{-2}. (2)化原不等式为|x+1|2|2x-1|2 (2x-1)2-(x+1)20. (2x-1+x+1)·(2x-1-x-1)03x·(x-2)00x2. (3)令x-1=0得x=1,令2x+1=0得x=-. 当x∈时,原不等式可化为:-(x-1)-(2x+1)4. 当x∈时,原不等式可化为:-(x-1)+(2x+1)4. 由x≤1. 当x∈(1,+∞)时,原不等式可化为:(x-1)+(2x+1)4,故由. 综上所述知:为原不等式解集

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