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PAGE 2 第三讲 分类数据的检验 一、引例 十九世纪伟大的英国生物学家孟德尔（Mendel）按颜色与形状把豌豆分为四类：黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的。按照遗传学理论，孟德尔指出这四类豌豆的个数之比为9:3:3:1，也即豌豆为黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的概率分别为9/16，3/16，3/16，1/16。他通过观察个豌豆发现，这四类豌豆的个数分别为315，108，101，32。如何根据这些观察数据对孟德尔的遗传学理论进行检验？ 分析： （1）总体为所有的豌豆，豌豆按颜色和形状分为四类：—黄而圆的，—青而圆的，—黄而有角的，—青而有角； （2）每种豌豆的比率（概率）分别为：，，，，但未知； （3）根据理论或经验提出假设：，，，； （4）做试验获得观察数据 形状 圆的 有角的 颜色 黄色 315 101 青色 108 32 （5）根据观察数据检验如下假设： ：，，， 若接受，说明观察数据符合孟德尔的遗传学理论，也即说明孟德尔的遗传学理论正确； 若拒绝，说明观察数据不符合孟德尔的遗传学理论，也即说明孟德尔的遗传学理论不正确。 二、分类数据检验问题的统计模型 （一）问题的一般提法 1、总体分布 设总体根据某项指标分为类，记为，各类所占的比例记为，其中，，但未知。也即总体分布为： 总体类别 比例 2、假设检验 根据理论，或从经验出发提出一个原假设： ， （*） 其中，已知，且。 3、研究内容 对该总体独立重复观察个个体，记个个体中，属于的观察个数为，，其中有，基于观察值，对原假设（*）进行检验。 （二）检验方法 1、检验 （1）检验统计量 （2）统计量的渐进分布 若成立，当时， （3）拒绝域（给定检验水平，一般取） 若，则在检验水平下拒绝； 若，则在检验水平下接受； （4）检验值（给定检验水平，一般取） 若，则在检验水平下拒绝； 若，则在检验水平下接受； （5）注：检验采用近似分布进行检验，要求样本容量大，一般，，。 2、似然比检验 随机向量，即的联合分布列为： 样本的似然函数为： 检验问题（*）的似然比 注：参数满足，似然比可以写为： 求解： 记 令： 可得 即 也即参数的最大似然估计为： ， 则似然比 （1）检验统计量 （2）统计量的渐进分布 若成立，当时， （3）拒绝域（给定检验水平，一般取） 若，则在检验水平下拒绝； 若，则在检验水平下接受； （4）检验值（给定检验水平，一般取） 若，则在检验水平下拒绝； 若，则在检验水平下接受； 三、引例分析 （1）记号 ：黄而圆的，：青而圆的，：黄而有角的，：青而有角； ，，，； ：黄而圆的豌豆个数，：青而圆的豌豆个数，：黄而有角的豌豆个数，：青而有角的豌豆个数； （2）观察数据 ，，，，； （3）原假设： ：，，， （4）检验 类别 A1 0.5625 315 312.75 0A2 0.1875 108 104.25 0.134892086 A3 0.1875 101 104.25 0.101318945 A4 0.0625 32 34.75 0.217625899 合计 1 556 556 0.470023981 自由度 3 0.470023981 值 0.925425895 检验值为0.925425895，表明不能拒绝，即认为孟德尔的遗传学理论是正确的。 （5）似然比检验 类别 　 　 　 　 　 A1 0.5625 315 0.566546763 0.992857143 4.516148372 A2 0.1875 108 0.194244604 0.965277778 7.633303152 A3 0.1875 101 0.181654676 1.032178218 -6.397611455 A4 0.0625 32 0.057553957 1.0859375 -5合计 1 556 1 4.076250638 0.475445239 自由度 3 　 　 　 　 　 0.475445239 　 　 　 　 值 0.924251904 　 　 　 　 检验值为0.924251904，表明不能拒绝，即认为孟德尔的遗传学理论是正确的。