专题训练等腰三角形的综合.docVIP

专题训练(三)　等腰三角形的性质和判定的综合 一、等腰三角形的性质与线段垂直平分线的综合应用 1．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：∠BAF＝∠ACF. 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB的中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE∥AC交AF的延长线于点E.求证：(1)△ADC≌△BEA；(2)BC垂直平分DE. 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE交于点G. (1)求证：BF＝AC； (2)求证：CE＝eq \f(1,2)BF； (3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论． 二、等腰三角形的判定 4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三 个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为旋转中心，顺时针旋转△ABC到△EDC的位置，使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD. (1)求证：△ADC≌△BCD； (2)请判断△ABE的形状，并证明你的结论． 6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图①，②，③是旋转得到的三种图形． (1)观察图①，②，③中线段PD和PE之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明； (2)△PBE是否能构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由． 三、等边三角形性质和判定的综合 7．如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F. (1)若AD＝2，求AF的长； (2)求当AD取何值时，DE＝EF. 8．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，点A(0，1)，B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC. (1)当点B运动到(0，4)时，AC＝_______； (2)∠CAP的度数为_______； (3)当点B运动时，AE的长度是否发生变化？若不变，求出AE的值；若变化，说明变化的规律．