函数极限的求法.docVIP

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序言 极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类:一类是数列的极限,一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的,在形式上数列界限是函数极限的特例。因此,本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算,一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解,而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多,但是每种方法都有其局限性,都不是万能的。对某个具体的求极限的问题,我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中,必然以相关的概念、定理以及公式为依据,并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十二种求极限的方法,每种方法都是以定理或简述开头,然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。 一、函数极限的定义 定义一:若当x无限变大时,恒有|f(x)-a|,其中是可以任意小的正数,则称当x趋向无穷大时,函数f(x)趋向于a,记作f(x)=a或f(x)→a(x→+)。 定义二:若当x无限接近时,恒有|f(x)-a|,其中是可以任意小的正数,则称当x趋向时,函数f(x)趋向于a,记作f(x)=a或f(x) →a(x-)。 二、函数极限的求法 下面我们以相关的概念、定理及公式为依据,解决常见函数极限的求解方法: 直接代入法 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为。 例1:求 分析:由于 (2+x-5)=2+x-5=2·+2-5=5, (3x+1)=3x+1=3·2+1=7 所以采用直接代入法。 解:原式=== 2、利用极限的四则运算法则求极限 这是求极限的基本方法,主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算,为此有事往往要对函数作一些变形。 定理 若 f(x)=A g(x)=B (1)[f(x)±g(x)]= f(x) ± g(x)=A+B (2) [ f(x)·g(x)]= f(x) · g(x)=A·B (3)若B≠0 则: == (4) C·f(x)=C·f(x)=CA (C为常数) 上述性质对于x→,x→+,x→-时也同样成立 例2:求 解: == 3、利用极限定义求解 函数极限-定义: =A: 当0|x-|时,|f(x)- A | =A: 当-x-0时, |f(x)- A | =A: 当0 x-时,|f(x)- A | 当|x|M时,|f(x)- A | 当xM时,|f(x)- A | 当x-X时,|f(x)|G 例3:用极限定义证明:=1 证:由= == 取= 则当0|x-2|时,就有 由函数极限-定义有:=1 4、利用无穷小量的性质求解 性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量 性质2、无穷小量与无穷大量的关系:若在自变量的同一变化过程中f(x)为无穷小量,且f(x)≠0,则为无穷大量,反之亦然。 性质3、乘积因子的等价无穷小量代换: 这函数f、g、h在内有定义,且有f(x)~g(x) (x→) 若f(x)h(x)=A,则g(x)h(x)=A; 若=B; 当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~~ln(x+1)并且1-cosx~。 例4:求xsin 解:因为|sin|≤1,所以|sin|是有界变量,又x=0, 所以当x→0时,xsin是有界变量与无穷小量的乘积,根据无穷小量的性质可知,xsin是无穷小量,所以xsin=0 注意:(1)无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如,当x→,是无穷小量,2x个这种无穷小之和的极限显然为2。 (2)无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。 (3)无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如,当 x→时,是无穷大量,是有界量,显然·→0。 (4)X→*下,f(x)0,其极限f(x)未必大于0,例如,f(x)=显然f(x)=0. 5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解 例5:求 解:因为-4=0,5x=10,所以我们可以求出==0 这就是说,当x→2时,为无穷小量,由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量,所以为x→2时的无穷大量,即= 6、利用初等函数的连续性质求解(适用于求函数在连续点处的极限) 利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果: 若f(x)在处连续,则 f(x)= f(); 若(x)=A,y=f(u)在u=A处连续则f[(x)]=f(A); 若f(x)=A0, g(x)=B,则= 例6:(7x-6) 解:因为y=(7x-6)是初等函数,在定义域(,+)内是连续的,所以在x=1处也连续,根据连续的定义,极限值等于函数值,所以(7x-6)=(7

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