高中数学第12讲(必修2)直线与平面的平行与垂直.ppt

新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 特级教师 王新敞 源头学子 wxckt@126.com 人教A版高中数学·必修 章节复习 第12讲 直线与平面的平行与垂直 1.理解直线与平面的位置关系，理解线面平行、线面垂直的定义. 2.掌握线面平行、线面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活运用. 3.掌握空间的平行关系、垂直关系的互相转化定理，并能灵活应用. 4.规范推理、论证等解题程序，培养并提升逻辑推理能力. 1.对任意直线l和给定平面α，在平面α内必存在直线m,使得直线m与l( ) C A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 若lα,则选项D错误;若l∥α,则选项B错误;若l∩α=P,则选项A错误;而对于任意直线l，平面α内必存在直线m与l或相交垂直或异面垂直，故选C. 2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题： ①若m⊥α,n∥α,则m⊥n; ②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ; ③若m∥α,n∥α,则m∥n; ④若m⊥α，n⊥α，则m∥n. 其中正确命题的序号是( ) A A.①②④ B.②③④ C.③④ D.①④ ①正确，故排除答案B、C，又知②正确，故选A. 1.直线与平面平行 定义：直线a与平面α没有公共点，称直线a平行于平面α，记作a∥α. 判定定理:若① 外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线② . 平面 平行 2.直线与平面垂直 定义:直线a与平面α内的任意一条直线垂直,称直线a垂直于平面α,记作a⊥α. 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条③ 垂直，则该直线与此平面垂直. 性质定理:如果两条直线同④ 一个平面,那么这两条直线平行. 相交直线 垂直于 3.空间平行关系及空间垂直关系的转化，是立体几何证明中常用思路 以下是平行关系转化图： 题型一 线面平行的判定与应用 例1 已知正方形ABCD、ABEF构成如图的一个空间图形，M、N分别是AE、DB上的点，且AM=DN. 证明：MN∥平面EBC. 证明线面平行常用的方法:一是判定定理，关键是在平面EBC上找一条直线与MN平行；二是先证明面面平行，再证明线面平行. (方法一)过M作MM1⊥BE于M1,过N作NN1⊥BC于N1，连接M1N1， 则有MM1∥AB,且 = ,NN1∥CD, 且 = . 又AB CD，AM＝DN,故MM1∥NN1，所以MN∥M1N1. 又MN平面EBC,M1N1平面EBC， 所以MN∥平面EBC. (方法二)如图，连接AN并延长与BC(或BC的延长线)交于点Q，连接EQ. 因为AD∥BQ， 所以 = . 而AM=DN,ME=NB， 所以 = = . 在△AEQ中， = ,所以MN∥EQ. 又MN平面EBC,EQ平面EBC， 所以MN∥平面EBC. (方法三)如图，过M作MK⊥AB于K,过N作NK1⊥AB于K1， 则有MK∥EB，故 = , NK1∥AD，故 = . 而AM=DN,AE=DB， 所以 = ， 所以K与K1重合. 考虑平面MNK与平面EBC. 由MK∥EB,MK平面EBC,EB平面EBC, 得MK∥平面EBC. 由NK∥AD，得NK∥BC. 又NK平面EBC,BC平面EBC， 所以NK∥平面EBC. 又MK∩NK=K,所以平面MNK∥平面EBC, 而MN平面MNK，所以MN∥平面EBC. 本题呈现了证明线面平行的一般方法，前两种证法本质上都是利用判定定理，但找与MN平行的直线操作不一样，证法二是先证面面平行，再利用面面平行的性质来说明线面平行.本题证明平行关系用的是比例关系，更有一般性.若M、N是所在边的中点，直接利用中位线定理更简捷.本题的背景是几何体中的局部“场景”，但所用的证明方法非常有代表性.