变换几何视角下的初中几何终稿.pdf

变换几何视角下的初中几何 上海市侨光中学 何兴国 内容提要： 本文尝试用变换几何的观点处理初中几何中的部分问题。而现行教材中的旋转、平移、 翻折、缩放实际就是变换几何，只是没有明确说出 “变换”这样一个概念，但已经在各章节 中做了大量的渗透。 本文分四方面讲述。首先是基本的几何变换概念；接着讲述了引入变换几何的背景； 最后讲述了几何变换在论证几何中的作用以及知识的结构化。 关键词：平移变换、旋转变换、反射变换。 一、 什么是几何变换？ 几何变换的实质是点的集合之间的一一对应关系，体现在直观上就是图形的运动。初中 几何主要有两种几何变换：全等变换和相似变换。 全等变换也就是合同变换，是指图形经过运动后形状和大小保持不变。由于图形上两 点之间的距离在运动后保持不变，故也称为保距变换。全等变换由三种基本运动方式：平移 变换、旋转变换、反射变换。特别地在旋转变换中，当一个图形绕某点旋转 180°时，我们 称之为中心对称变换，反射变换也就是轴对称变换。 相似变换是指图形经过运动后形状保持不变。由于在运动后，图形中的角度保持不变， 所以相似变换也叫保角变换。其基本的运动方式有四种：平移变换、旋转变换、反射变换和 缩放变换。所以全等变换是相似变换的一种特殊情况。 平移变换和旋转变换都可以看成是两次反射变换组合而成， 如下左图，点 A 平移到点 A ″可以分解为两次反射，点 A 以直线 j 为轴反射到 A´，点 A´再以直线 k 为轴反射到 A″。 B A A A B B j k l 平移分解为反射 旋转分解为两次反射 如上右图，点 B 绕点 O 顺时针旋转∠a 到点 B ″，可看成点 B 以直线 l′为轴反射到 1 点 B′，点 B′再以直线 l″为轴反射到点 B ″。其中直线 l′与直线 l″得夹角为 ∠a ， 2 要注意的是直线 l ′的位置可任意选取。 例如下图，点 B 绕着点 A 逆时针旋转∠b B B 与点 B ′重合。可分解成点 B 以直线j 为轴反射 得到点 B ″，点 B ″再以直线 k 为轴反射 1 得到点 B ′。直线j 和 k 的夹角为 ∠b 。 B 2 j A 而更复杂的图形运动可以看成 k 基本图形运动组合而成。 二、 为什么引入变换几何？ 从几何学本身的发展来看。早期人们一般关注静止的图形，所以几何学基本上是研究图 形的形状、大小和位置关系。近代几何引入了动态的观点来研究几何，特别是 “射影几何” 的兴起有力地推动了几何学的发展，群论的观点也被用来研究几何。1872 年德国数学家克 莱因提出一种革命性的几何学定义，大意是考虑空间的一个变换群，研究它的一切不变性质 或不变量就构成一种几何。这就是著名的 “爱尔朗根