与中学老师谈微积分（4）——强可导的函数和导数概念完成版.pdf

维普资讯 · 专家论坛 · 数学通讯 (2008年第 17期) 与中学老师谈微积分 (4) 一 强可导的函数和导数概念 张景中 (湖北省武汉市华中师范大学 教育部信息技术工程研究中心，430079) 3 强可导的函数和导数概念 IF(U+h)一F(U)一J’(“)hI≤M ·lhI 。 3．1 两个函数的差商——中值关系 (3．3—2) 定义 3．1 设F()和f()都是 J上的函 不等式(3．3一1)的意义是，F()的曲线在点 数．如果对 j中任意的 “和 ，都有 [U，]上的P (“，F(t．1))附近和斜率为．厂(U)且过此点的直线非 和q，使得 常接近，如图1所示． 证明 由于F() )≤ ≤-厂(q) (3．1) ’(H ^) 的差商是 f(x)的 中 F’(H¨；’()“参 则称 “在 f』二F(z)的差商是．厂()的中值”，或 ! 值，对 ，上的任意两点 简单地说F(x)和．厂()有差商——中值关系． “和 “+h，有 [U， + “ u+h 两个函数之间的差商—— 中值关系，也是区 h](或[“+h，“])上的 间可分性质．也就是说，若在[n，c]上．厂()的差商 两点 P和q，使得 图 1 是g()的中值，且在 [C，b]上J。()的差商是g(x) f(P) 的中值 ，则在 [。，b]上 ’()的差商是g()的中 ≤ ≤ q) (3．4) 值．反过来，若在[a，b]上-厂(z)的差商是g(x)的 中值，则在[。，6]的任意子区间上，．厂()的差商是 将(3．4)的各项同减J’(“)得 g(x)的中值． ，()一 (“)≤ ± 一厂(“) 定理 3．1 若在 j上F()的差商是． 厂()的 ≤f(q)一．，’(“) (3．5) 中值，且有正数 M 使对一切 ∈，有 I，()l≤ 注意到 和q在U和 “+h之间，若厂()在 ． M ，则对于 上的任意两点 “和 “+h，有