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【课题】:3.2.1直线的点斜式方程(特色班)
【设计与执教者】:广州市禺山高级中学,董吉文,ys.djw@
【学情分析】:直线方程的点斜式是其它直线方程的基础,也是今后应用、考察最多的一种,其方程的推导是本节的一个难点。(1)是用坐标法求曲线方程的方法学生不具备;(2)是直线与方程的关系较抽象,学生难以理解;(3)是直线的点斜式方程的使用条件,在今后的应用中学生往往易忽略。鉴于此,本节采用特殊到一般、学生合作探究的教学方法,达到突破难点、探究新知、巩固和应用新知的目的;同时培养学生自主探究、合作交流、迁移发展等良好学习品质。
【教学目标】:
知识与技能:掌握直线方程的点斜式、斜截式,体会斜截式与一次函数的关系。
过程与方法:经历由直线上一点和直线的斜率推导直线方程的过程;利用直线的方程来研究两直线的位置关系(数与形的关系)。
情感态度与价值观:体会用代数的表达式来研究几何问题的数形结合的思想方法,加深对解析几何的认识。
【教学重点】:直线方程的点斜式、斜截式及其应用。
【教学难点】:直线方程的点斜式的推导。
【课前准备】:课件
【教学过程设计】:
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
请同学们在直角坐标系中作出y=2x+3 的图象。
问:(1)图象是什么图形?写出直线上几个点的坐标,其斜率是 。
(2)直线上的点的坐标与函数式y=2x+3(方程)什么关系?
(3)如何确定该直线(用最少的条件;点或斜率)?
从学生熟悉的一次函数入手,初步理解方程与直线的关系及确定直线的条件。
二、讲授新课
(1)直线方程的点斜式
1.根据确定直线的条件知道:给定点,和斜率,直线就唯一确定了。那么已知直线l 经过点(1,5),斜率为2,你能写出它的方程吗?
启发:直线的方程就是直线上任意一点的坐标满足的关系式。设M是直线l上的任意点,你能根据已知条件找到满足的关系式吗?请同学们研究交流。
2.抽象概括:
已知直线l 经过点,且斜率,你能求出它的方程吗?
让学生自己完成,且相互交流方程的形成并优化其结构。得方程
为: (1)
3.问:(1)过点,斜率是的直线上的点,其坐标都满足方程(1)吗?
(2)坐标满足方程(1)的点都在经过,斜率为的直线上吗?
结合引例或再让同桌给出不同点的坐标及斜率,求出方程并让学生验证,教师引导。
(3)教师指出方程(1)由直线上一定点及其斜率确定,所以叫做直线的点斜式方程,简称点斜式。
4.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?
学生分组互相讨论,然后说明理由。
5.(1)轴所在直线的方程是什么?轴所在直线的方程是什么?
(2)经过点且平行于轴(即垂直于轴)的直线方程是什么?
(3)经过点且平行于轴(即垂直于轴)的直线方程是什么?
教师学生引导通过画图分析,求得问题的解决。
练习1:分别求出过点P(3,5)且满足下列条件的直线方程,并画出图形。
(1) 斜率k=2 ; (2) 倾斜角α=;
(3) 与x轴平行 ; (4)与x轴垂直。
解(1);
(2),即;
(3),即;
(4),即;
图略。
经启发学生初步容易理解设动点M及任意性的含义。
培养学生由特殊到一般的思维方法及探究、合作的学习品质。
使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。
使学生理解直线的点斜式方程的适用范围。
进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围,掌握特殊直线方程的表示形式。
清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件:①一个定点;②有斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。
(2)直线方程的斜截式
练习2:已知直线的斜率为,且与轴的交点为,求直线的方程。
学生独立求出直线的方程: (2)
启发:观察方程,它的形式具有什么特点?
学生讨论,教师给出截距的概念,引导学生分析方程(2)由哪两个条件确定,给出斜截式方程的概念。
引导学生分析点斜式与斜截式方程的关系,突出斜截式所表达的直线几何特征是截距和斜率;
引导学生观察它与一次函数的异同之处及截距与距离的区别。
直线过原点,则一定有什么结论?
你能说出一次函数图象的特点吗?
①深入理解斜截式是点斜式方程的一种特殊情形;②掌握斜截式方程的特点及 几何特征;③体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
(3)利用直线方程的斜截式判断两条直线的位置关系
练习3:已知直线, 试讨论
(1)的条件是什么?(2)的条件是什么?
启发:回忆刚学过的用斜率判断两条直线平行、垂直的结论,思考、时,有何关系?
由学生思考讨论得出结论:
且;
掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行,或相互垂直;进一步理解斜截式方程中的几何意义。
(4)课堂练习
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