杭州中考最后一题的解法探究及再创造.ppt

2013年杭州市中考最后一题的 解法探究及再创造 原题再现、认识经典 （2013杭州市中考数学最后一题） 本题考查：知识点 1、正方形的性质 2、相似三角形 3、二次函数的解析式与最值 4、几何变换（轴对称与中心对称） 5、图形面积的计算等 原题的内涵剖析: （1）以正方形为基本图形，以 以图形的对称性为外显形式，以动点为载体； （2）蕴含配方法及整体换元变换等数学方法； （3）蕴含数形结合及转化思想 潜在的研究价值: 条件和结论均可改变,可成为一个开放题. 对初二学生: 作为拔高练习,可开拓思路,引导学生要脚踏实地学好基础图形. 对教师: 引导教师的教学应回归原点.对习题资源可进行二次开发. 对初三学生: 应熟悉基本图形,应用通性通法解题,树立中考信心. 图1 1 2 3 ∠1+∠2=135° ∠3+∠2=135° ∠1=∠3 △APE∽△CPF 1 2 3 ∠1+∠2= ∠2+∠3=180°- 2 2 难点落在用关于x的代数式表示线段AE的长 （1）补形法 （2）数形结合思想和转化思想 1、原题解析： （第22题） 1 2 3 1 2 3 初二学生可以怎么 （1）角：正方形可产生哪些特殊角？位置在哪？ E、F为线段AB，BC上的动点，定角 ∠EPF=45°，如何利用∠1+∠3=45°? 则E和F的临界位置？此时与哪些角相关？ 图2 1 3 （5）最值：求面积最值问题常用什么方法？ （4）面积：不规则四边形常用什么办法求面积？ （3）图形变换：题中存在哪些图形变换？ 对称中心说明什么？轴对称变换使得求 阴影部分S1只需求什么？ （2）线段：可通过求哪些线段的长或其代 数式来表示图形的面积？ 解法1：借助正方形PGBH，巧“合”45°角 把△PFG绕点P顺时针旋转90°得到△PF’H ,易证△PF’ E≌△PFE F’ 1 2 4 3 解法2：依托等腰RT△ PBC，拆分45°角 把△PEB绕着点P逆时针旋转90° 得到△PE’C,易证△PEF≌△PE’F， 在Rt△BEF中,由勾股定理 2.研究初二学生的解题路径 如何利用 ∠EPF=45°？ （1）分割法，旋转法 （2）数形结合思想和转化思想 （3）函数和方程思想） 3、改编原题——条件不变，结论改变 结论1：在点F运动的过程中，设△BEF的周长 为P,则P的值是否有变化，请证明你的结论. 结论2：求证：△PEF的面积等于EF的长. 结论3：当EF//AC时，求∠APE的大小. 4、原题改编1——条件与结论互换 4、原题改编2——条件、结论均改变 * 一道代数几何综合题 * 笔者今年正好执教浙教版八年级的课程，值此中考之际面临的教育对象正是准初三的初二学生,至此,学生已经学习了初中几何的各种图形变换、正方形性质以及配方法求解最值问题等知识点，无论在知识储备还是思想方法上都已经为解决这个问题奠定了基础.有开发的价值，为此，我直接拿这个题来给初二学生上正方形的复习课。同时，还写了一篇论文获2014年杭州市数学年会论文三等奖。此题主要从以下三方面展开。 * 利用大面积减小面积(补形思想)点评：本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，最终的难点落在用关于x的代数式表示线段AE或BE的长上，同时用配方法求函数的最值问题也不是对一个常规的整式而是对一个分式配方，因此，涉及整体换元的思想也是一个难点.设置第(1)小题证明∠APE=∠CFP的目的,是能为第(2)小题找到相似三角形去解决问题搭了台阶,有了这个桥梁,初三的学生自然较容易想到用相似比去表示出线段AE的长度.进而联系到面积之间的关系. * 笔者今年正好执教浙教版八年级的课程，值此中考之际面临的教育对象正是准初三的初二学生,至此,学生已经学习了初中几何的各种图形变换、正方形性质以及配方法求解最值问题等知识点，无论在知识储备还是思想方法上都已经为解决这个问题奠定了基础. 让初二学生感觉困难的应该是如何用好45°角，如何求一个不规则四边形的面积，以及求面积时如何表示出未知的线段长等. 为帮助学生突破难点，我不急于让学生解决原题， 而是设计了一组问题串引导学生剖析背景图形和45°角进行探究，回溯以往的活动经验： * 尤其是这两种方法均只涉及到初一初二教材的知识,因此对其解法很有研究的价值.当学生们为自己只利用初二的知识就能解决中考压轴的最后一题时,对数学的兴趣和由此产生的成就感就不言而喻.这无疑对后续的数学学习产生巨大的正能量，这也是笔者的用意所在。点评:这两种解法”违背”了出题者的本意,利用了正方形这个完美的基本图形的本质特征,即关于两条对角线和对边中点连线所在直线均为