第6讲 曲线曲面基础.ppt

CAD技术及应用第6讲 自由曲线曲面基础 华中科技大学CAD中心 吴义忠 6. 曲线曲面基础－1 6. 曲线曲面基础－1 6.2 曲线曲面发展历程 6. 曲线曲面基础－1 曲线曲面的参数表示 参数表示优点 参数表示优点（续） 有关基本概念介绍 6. 曲线曲面基础－1 Bezier曲线 三次Bezier曲线 三次Bezier曲线性质 三次Bezier曲线示例 Bezier曲线的计算及绘制 任意次数Bezier曲线绘制 //n次数，pts三维n+1个输入点，m+1离散点数目, ptsOut为输出点序列 void mkBezier(unsigned int n, Point3D pts[], unsigned int m, Point3D ptsOut[]) { for(int k=0; k=m; k++) { float t = k * 1.0 / m; ptsOut[k] = {0, 0, 0}; for(int i =0; i=n ; i++) { ptsOut[k].x += pts[i].x * fact(n)/(fact(i)*fact(n-i)) * t^i * (1-t)^(n-i); ptsOut[k].y += pts[i].y * fact(n)/(fact(i)*fact(n-i)) * t^i * (1-t)^(n-i); ptsOut[k].z += pts[i].z * fact(n)/(fact(i)*fact(n-i)) * t^i * (1-t)^(n-i); } } } 求N!的递归算法 unsigned int fact (unsigned int n) { static vectorint Fact; //Fact = new int[…]; static unsigned int num = 0; if (n = num) return Fact[n-1]; else { unsigned int res; if(n == 1 || n == 0) res = 1; else res = n*fact(n-1); num = n; Fact.pushback(res); } return res; } //说明求3!, 5!, 4!的过程 Bezier曲线几何作图与分割特性 Bezier曲线拼接 Bezier曲线的不足 6. 曲线曲面基础－1 B样条曲线 均匀/准均匀B样条 均匀三次B样条曲线 均匀三次B样条曲线的程序实现 均匀三次B样条曲线的几何意义 均匀三次B样条曲线的几何作图 B样条曲线性质 B样条曲线的拼接 B样条曲线的反算 B样条曲线与Bezier曲线的比较 6. 曲线曲面基础－1 NURBS曲线 本章思考 ， 工程实际中存在许多复杂形状的曲线或曲面．不可能用一条Bezier曲线拟合出复杂的曲线，但可采用分段Bezier曲线经拼接后拟合实际中存在的复杂曲线。工程应用中，希望各段曲线在连接处光滑，即切矢连续(一阶几何连续)或曲率连续(二阶几何连续)。这里仅讨论切矢连续的问题。 ， 下图所示为两段三次Bezier曲线的一阶连续拼接： Q1′ 由图中可以看出，Q1′的移动只要满足共线要求即可满足二曲线的切矢光滑拼接（即一阶几何连续） 而不需满足P′（1）＝Q ′（0）（即一阶导数连续） 也就是说一阶几何连续比一阶导数连续限制更宽松，也能满足光滑连续的工程要求，这是参数表达的优势之一。 Bezier曲线有两点不足： 一是特征多边形顶点数决定了Bezier曲线的阶次，n很大时，特征多边形对形状的控制将减弱。 二是Bezier曲线不能作局部修改，改变任一控制点将波及整条曲线。 三是绘制复杂曲线需要拼接，比较繁琐。 因此发展了B样条曲线 1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。 6.1 认识曲线与曲面 6.2 曲面造型的发展历程 6.3 曲线曲面的参数表达 6.4 Bezier曲线 6.5 B样条曲线 6.6 NURBS曲线 n+1个控制点Pi(i=0,1,…,n)构成特征多边形的顶点，k+1阶(k次)B样条曲线的表达式是： 其中Ni,k(u)是调和函数，也称为B样条基函数，按照递归公式可定义为： un+k+1 u0 u1 un+k 式中：U ＝ [ u0 , u1 ,