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Chapter 10 相关系数与Copula函数 */20 */72 引言 假设一家公司对市场的两个不同的变量有风险暴露，两个变量之中的任何一个变量增加1个标准差，公司会收益1000万美元；两个变量之中的任何一个变量减少1个标准差，公司会亏损1000万美元。 如果这两个市场变量的变化有很强的正相关性，公司面临的整体风险很大；如果市场变量的相关性为0，公司面临的整体风险会小一些，但整体风险仍然很大；如果市场变量的变化有很强的负相关性，公司面临的整体风险会大大减小。 这个例子说明：相关系数及波动率的合理估计，对于正确检测风险的暴露至关重要。 */20 */72 引言 本章内容： －讨论对于相关系数如何做出一个类似检测波动率的检验方法； － 通过Copula函数定义两个或者更多变量之间的相关结构； － 利用Copula计算一个贷款组合的风险价值度。 */20 */72 10.1 相关系数 变量V1 及V2的相关系数定义为 变量V1 及V2的协方差定义为 虽然直觉上更容易理解相关系数，但是协方差才是真正需要分析的变量。正如在EWMA及GARCH模型中，波动率更容易被人理解，但是方差才是真正的基础变量。 */20 相关系数及关联性 如果变量V1 和 V2 任意一个变量的信息不影响另一个变量的分布，那么在统计上它们被定义为独立。即 其中 f(.)表示变量的概率密度函数。 两个变量的相关系数为零，是否一定不相关？ 举例说明 */20 E(Y) X E(Y) E(Y) X (a) (b) (c) X 相关性的类型 */20 */72 10.2 监测相关系数 假定变量X及Y在第i天结束时的收益率为 xi=(Xi-Xi-1)/Xi-1 ， yi=(Yi-Yi-1)/Yi-1 varx,n: 第n-1天计算的变量 X 的日方差 vary,n: 第n-1天计算的变量 Y 的日方差 covn: 第n-1天计算的变量 X 和Y的协方差 协方差 方差 第n天相关系数的估计值为 */20 */72 监测方差 EWMA: GARCH(1,1) */20 */72 协方差矩阵的一阵性 协方差矩阵需要满足内部一致性条件 为什么？一定满足吗？ */20 10.3 多元正态分布 假定V1 及V2服从二元正态分布，变量V1 的某个观察值为v1， V2在V1 = v1 的条件下分布为正态分布，期望值为 标准差为 m1,, m2, s1, s2 分别为变量 V1 和 V2 的无条件均值和方差， r 是变量 V1 和 V2的相关系数。 */20 */72 随机抽样 近似正态分布的生成 其中 Ri 是 0 到 1之间的相互独立的随机变量。 对于多元联合正态分布的随机抽样，通常用Cholesky分解法来生成，要求方差—协方差矩阵半正定。 */20 */72 因子模型 若 Ui 服从标准正态分布，在单因子模型中，可设定为 其中 F为共同因子，Zi 为相互独立的因子，均服从独立的标准正态分布， ai 为介于-1到1之间的常数。 多因子模型 */20 */72 10.4 Gauss Copula 函数 已知两个相互关联的变量V1 及 V2的边际分布的估计，如何决定变量间的联合分布呢？ 当变量V1 及 V2的边际分布为正态分布时，一种方便的做法（不是唯一）是假设变量V1 及 V2服从二元正态分布。 若变量V1 及 V2的边际分布不为正态分布，也可以做类似假设。将变量V1 及 V2按分位数对应的原则映射到变量U1 及 U2，变量U1 及 U2服从二元联合正态分布。 精髓在于没有直接定义变量V1 及 V2的相关性，而是采取一种间接的方式，即将V1 和 V2映射到较好的分布上定义其相关性。 */20 映射实例 */20 */72 其他Copula函数 假定G1 和 G2分别为V1 和 V2的累积边际概率分布函数，N为累积正态分布函数 变量U1 和 U2 被假定为其他联合分布。 比如，学生-t 分布，t-Copula函数。 */20 */72 抽样比较 二元正态分布5000个抽样 二元学生t分布5000个抽样 */20 */72 多元Copula函数 Copula函数可以用于描述多于两个变量之间的相关结构。 假定已知N个变量V1, V2,…Vn的边际分布，可以按照分位数 对应的原则将 Vi 映射到标准正态分布Ui ，其中Ui 服从多 元正态分布。 因子模型 F及Z