华东师范大学数学分析第三版第八章.pptVIP

1. 降幂法 等类型函数的不定积 例11 解 分时,可用分部积分法使 xn 逐次降幂. 定积分时,需要使用升幂法. 例12 解 注 通过对 xn 的升幂和 ln x 的求导, 化解了难点. 2. 升幂法 等类型函数的不 类型的函数的不定积分时,用分 3. 循环法 例13 解 (3) 解出方程加上常数C 即可得不定积分. 部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程, (4)式代入(3)式,得 (4) 整理后得到 同理 4. 递推法 例14 解 由此解出 §8.3 有理函数和可化为 一、有理函数的部分分式分解 本节给出了求有理函数等有关类型的 四、某些无理函数的不定积分 三、三角函数有理式的不定积分 二、有理真分式的递推公式 有理函数的不定积分 不定积分的方法与步骤. 返回 有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数, 一、有理函数的部分分式分解 m n 时称为真分式, m ≤ n 时称为假分式. 假分式可化为一个多项式和一个真分式之和. 其一般形式为: 1. 对分母 Q(x) 在实数系内作标准分解: 2. 根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分 分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下: 真分式又可化为 与 之和,其 式. 对应于 的部分分式是 把所有部分分式加起来,使之等于 Q(x), 由此确定 对应于 的部分分式是 上述部分分式中的待定系数 Ai , Bi , Ci . 3. 确定待定系数的方法 把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子　 分式分解. 组, 由此解出待定系数. 必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程 P(x) 应该相等. 根据两个多项式相等时同次项系数 例1 作部分 比较同次项系数, 得到线性方程组 解得 于是完成了R(x) 的部分分式分解: 任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 二 、有理真分式的递推公式 下面解这两类积分. 式的不定积分之和： 解得 解 由例1, 例2 其中 于是 例3 解 由于 而 由递推公式 于是 * §8.1 不定积分概念与 基本积分公式 一、原函数 不定积分是求导运算的逆运算. 四、基本积分表 三、不定积分的几何意义 二、不定积分 返回 微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 一、原函数 例如 定义1 例1 数: 从(iii) (iv)可以看出, 尽管象 研究原函数有两个重要的问题: 1. 满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存 2. 若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出 这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是 一件容易的事. 在原函数,它是否惟一? 来? 第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 在第九章中将证明此定理. 数 F, 即 定理8.2 (原函数族的结构性定理) (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数. 证 (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知 函数, 则 二、不定积分 定义2 在 I 上的不定积分, 为方便起见, 我们记 由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得: 若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图 所有的积分曲线都是 三、不定积分的几何意义 像是 f (x) 的一条积分曲线. 到的. 沿纵轴方向平移而得 由其中一条积分曲线 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数 若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 的原函数正是在积分曲线中 通过点 的那一条积分曲线. 由基本求导公式可得以下基本积分公式: 四、基本积分表 由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则) 上都存在原函数, k1, k2为 任意常数, 则 例1 则 法则. 例2 例3 例4 §8.2 换元积分法与分部积分法 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算, 相应 部积分法. 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 于复合函数求导数的链式法则和乘法 返回 定理8.4 (第一换元积分法) 则 证 一、第一换元积分法 所以(1)式成立. 第一换元积分法亦称为凑微分法, 即 常见的凑微分形式有 例1 解 例2 解 例3 解 解 例5 解 例4 (解法二) 解 (解法一) 例6 定理8.5 (第二换元积分法) 上可导, 证 二、第二换元积分法 等类型的不定积分上, 对此可分别设 于是 第二