金融市场风险的度量.pptVIP

* 第九节 极值理论 * * 引言 极值理论主要运用统计（特别是极值统计）理论和方法测度厚尾分布事件或极端事件所导致的风险损失。 极值理论主要包括： 分块样本极值理论 —— 对大量独立同分布样本分块后的极大值进行建模 POT (Peaks Over Threshold) —— 对超过给定阈值的样本数据进行建模 * 一、分块样本极值理论 (一) 分块样本极值理论的基本思想 1. 关键概念： X1，X2，…，Xn，…：与总体 X 的独立同分布的非退化随机样本序列，这里表示金融风险因子的随机样本序列； 样本极大值： 极大值随机样本序列： 样本极小值： 极小值随机样本序列： * * 一、分块样本极值理论 ——(一) 分块样本极值理论的基本思想(续) 分块样本极值理论的基本思想在于： 由于总体 X 的分布函数F(x)与极值 和 的分布函数满足 (3.8.4) (3.8.5) 所以，要获得总体 X 的分布函数F(x)，只要得到极大值 或极小值 的分布函数即可； 分块样本极值理论考察总体X的尾部特征，即x充分大时的 。 * * 一、分块样本极值理论(续) (二) 极大值的分布估计——基于Fisher-Tippett定理 1. 由于难获得极大值 的精确分布，所以一般情况下用极大值 的渐近分布——极值分布进行近似。 极值分布的定义：假设存在实数序列{cn}和{dn}，n=1,2,…, cn 0 和某个非退化分布函数 ，使得当 时有： 则称 为一个极值渐近分布，简称为极值分布。同时称总体X的分布函数F(x)处于 的最大吸引场中，记为F∈MDA(H)。 * * 一、分块样本极值理论 ——(二) 极大值的分布估计(续) 2. 估计极值分布的预备工作——广义极值分布 (1) 设： 则称 为广义极值分布(Generalized Extreme Value Distribution)，其中 ；为使 , 均有 ， 应满足 ；当 时， 定义为 。 * * 一、分块样本极值理论 ——(二) 极大值的分布估计(续) (2) 广义极值分布的分类 按 ξ 的取值范围分类：ξ 0，Weibull分布； 　ξ＝0，Gumbel分布； ξ 0，Fréchet分布 时，称为标准广义极值分布，　　　　　记为 。 * * 一、分块样本极值理论(续) 3. 基于Fisher-Tippett 定理估计极值分布的基本思路： Fisher-Tippett 定理证明了，样本极大值 的渐 近分布，即极值分布 ，必为标准广义极值 分布 ，或者必是标准的Weibull分布、 Gumbel 分布和 Fréchet 分布中的一种； 估计出 cn、dn和 之后，可以用 进一 步估计X 的分布 F(x) 。 * * 二、POT模型 (一) POT模型的基本思想 1. 分块样本极值理论实际操作中存在的主要问题： 在对极值分布 H(x) 进行估计时经常没有充足 的样本数据； 已有的不能用以刻画尾部特征的数据对极值分 布拟合的意义不大。 * * 二、POT模型 —— (一) POT模型的基本思想(续) 2. POT模型的基本思想：以超过某个充分大阈值u的所有观测值序列为样本，估计总体 X (金融风险因子)的超阈值 u 的尾部分布，即当x充分